基于概念图理论的一节复习课设计与思考*——高三复习课“解三角形综合复习”

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(安吉县高级中学,浙江 安吉 313300)

反思高三的复习过程，大量的课堂时间被用于教师的“教”和“灌”，学生一味地进行大量的机械式的重复训练，缺少对问题本质的理解，缺少对问题特征的思考与总结，至于知识间的相互迁移自然更捉襟见肘.通过对问题合理的设计，帮助学生形成相关的概念图，对于高三学生数学能力的提升大有裨益.日前，笔者接到开设一堂高三公开课的任务，课题是解三角形的章节复习课“解三角形综合复习”.作为一堂综合性的复习课，笔者认为，从构建解三角形概念图的角度来设计非常合适.下面记录本次设计的过程及带来的一些思考供大家探讨.

1 构思设计

1.1 理论基础

概念图最早是由美国康奈尔大学诺瓦克教授等人于20世纪60年代提出，它是一种帮助学习者建立整合、结构化的知识的教学工具.概念图是一种颇有效的学习策略，因为它能够将学生头脑中现有的认知结构以一种可视化的形式清晰地呈现出来，教师可以借此了解学生对相关知识的掌握情况，从而调整自己的教学内容使学生建构学科完整的知识网络[1].

1.2 总体思路

基于对学情的考虑，本节课笔者首先思考的是如何构建解三角形的概念图.考虑到这一章节本身的基本概念很少，最重要的问题就是如何使用正余弦定理解三角形.因此，概念图的构建不应该仅仅停留在知识层面，更多的应该放在思维层面上，体会解三角形问题的基本思想，注重和高中其他知识间的相互联系，从而形成解三角形的宏观逻辑结构.

解三角形是通过给出的边角关系，确定剩余边角元素的过程.而正余弦定理最基本的作用就是将边角间的关系数量化，从而构建起一系列的方程组.这样，接下来要做的实际上就转变成解方程组的问题.因此方程思想是解三角形的关键思想，如何构建起可解的方程组是学生学习过程中面临的核心问题.如果已知的方程个数比未知的边角元素个数少，这样就变成了不确定的三角形.

如果三角形不确定，那么我们常常研究最值范围问题，其中函数、不等式等知识就发挥重要的作用了.另一方面，三角形本身作为一个几何图形，有时从平面几何的角度考虑也是一个重要途径，数形结合的思想就显得非常重要.除此之外，高中阶段平面向量作为研究平面几何的一个重要工具，坐标法作为解析几何的一个基本方法，有时也为解三角形问题另辟蹊径.

图1

综上所述，笔者从思维层面构建了如图1所示的概念图.如何构建起这幅图，成为本节课设计的核心.考虑到一节课时间有限，笔者希望以一道题目作为背景，通过条件的变更，逐步渗透涉及到的思想方法.

2 过程实录

2.1 理解定理

问题引入在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知下列条件，分别求解三角形：

6)A=75°,B=45°，C=60°,这个三角形能确定吗？

设计意图通过简单的几个解三角形小题，与初中所学的全等三角形联系起来，起点低，方便学生入手，而且揭示出两个定理的重要作用：将三角形中定性的结果转化成定量的关系.同时也为接下来方程思想的体现作好准备.

2.2 应用深化

师：当条件中边角混合时，我们的基本思路就是利用正弦、余弦定理将边角统一.

生1：不确定，有两个.根据余弦定理可以得到

c2=a2+b2-2abcosC，

或者

图2

生(齐)：椭圆.

设计意图通过一个问题再次让学生体会解三角形中的数形结合思想.

问题2在问题1的条件下，求S△ABC.

问题3在问题1的条件下，求边AB上的高h.

问题4如图3，在问题1的条件下，求边AB上的中线CD的长.

生4：刚才已经求出了a，b，只要再解出cosA，就可以在△ABC中解出CD，但是我还没算好.

师：这位同学的思路很好，还是想通过解方程(组)的想法来求解，但这种办法计算量有点大.有没有更简单一点的算法？三角形的中线在向量中有一种比较简洁的表示方法是怎样的？

生5：因为

所以

师：该解法的计算简便了许多，同时我们要注意平面向量是研究平面几何的重要工具.

设计意图通过方程法和向量法的比较,让学生体会到平面向量这一工具在平面几何问题中的威力，构建预先设计的概念图.

图3 图4

生6：设AC=x，CD=BD=y，在△ABC和△ADC中分别使用余弦定理得到

设计意图问题2～5均为“定三角形”的问题，基本思想是方程思想.设计时有意回避了解三角形过程中复杂的三角恒等变换，主要是考虑不要让运算冲淡了概念图的逻辑构建.

生7：由之前得到的c2=a2+b2-2abcosC可以发现a，b的解不唯一了，因此三角形不能确定.

师：还能从几何的角度解释一下吗？大家可以先思考一下，若将点A，B固定，则点C的轨迹是什么？

图5

问题7在问题6的条件下，求S△ABC的最大值.

生9：显然当点C运动到AB的中垂线上时，S△ABC最大，容易求出

设计意图再次让学生体会解三角形中的数形结合思想,并且通过减少一个条件，问题向“动三角形”转变.

问题8在问题6的条件下，求△ABC周长的最大值.

生10：我是利用基本不等式做的，由

可得a+b≤6,故周长的最大值为9.

师：很好！还有没有别的思路？

师：刚才两位同学分别从不等式、函数这两个角度作答，这是我们处理最值问题的常用思路.不过生10的解法更简洁一些.

问题9在问题6的条件下，求2a-b的取值范围.

生12：类似于生11的思路，可知

故2a-b的取值范围是(-3,6).

设计意图进一步完善概念图的构建，“动三角形”问题中最常见的就是最值、范围问题.通过比较让学生体会不等式和函数各自的优势所在：不等式运算相对简洁，但函数的适用范围更广，且处理范围问题时更加精确.

思路1易知

c2=a2+b2-2abcosC=b2-3b+9,

(1)

(2)

将式(1)代入式(2)，得

下同思路1.

图6 图7

设计意图此题入手较宽，可以从余弦定理、向量、坐标运算等多角度切入，但核心思路都是划归为某个变量的函数处理.本题既强化了处理最值、范围问题时的函数思想，又体现了坐标法在平面几何中的应用，至此全部完成预设概念图的构建.

2.3 课后探究

师：这个问题留给大家课后自行探究.

设计意图此题呼应问题1，在确定点C的轨迹是一个椭圆后，运用坐标法将问题转化为关于点C坐标的函数问题.此题思维跨度大，对学生的综合运用能力提出了较高的要求.

2.4 小结升华

师：最后用几句话总结一下本节课的内容——求解三角形问题，数形结合好载体；边角关系量化计，正弦余弦两定理；最值定值常见型，函数方程不等式；代数运算遇瓶颈，几何图形辟蹊径；平面向量好工具，坐标思想莫忘记；上述关系若清明，解三角形何所惧.

3 课后反思

3.1 构建时机是关键

概念图应该建立在学生已获得相关概念的前提下，教师所要完成的任务就是帮助学生勾画出概念之间的相互联系.如果学生连基本概念都未建立，那么他们建立概念图是不符合认知规律的.因此，概念图教学用于复习课是合适的.

本节课的定位应当是在高三学生已经复习完解三角形整章内容之后进行.首先，他们需要熟悉正弦、余弦定理的基本使用，能解决三角形面积等问题；其次，函数、不等式、平面向量、解析几何这些内容也都在高一、高二打下了基础；最后才是本节课的目标：帮助学生整合解三角形的基本思路，帮助他们在具体情境下实现合理方法的选取.在这个时机采用概念图教学才是契合学生认知水平的.但是在教学过程中依然暴露出一个问题，授课面对的学生程度并非如预先估计得那样好，因此，在需要运用平面向量、解析几何这些与三角形关联不大的知识时，学生不能很快地联想到.而事先，笔者在自己所任教学校取得的课堂效果相对较好，这也再次说明，基础概念的熟悉程度对概念图教学的效果还是有较大影响的.

当然，除了在章末借助概念图进行复习课教学外，在前面具体每一小节的复习课过程中也可以进行.比如，在复习正余弦定理时，可以从正弦、余弦定理为中心发散：回顾两个定理的获得、证明、应用过程；具体在何种边角数量关系情境中使用哪个定理更合理；涉及到平面几何的哪些知识，合理借助平面向量工具等等.然后，在解决三角形面积问题时也作类似的尝试，再通过本堂课将前面的图谱联系起来，就可以使学生获得解三角形这一章更为丰富的概念图.

3.2 学生活动是保障

一般来说，概念图教学培养的是学生对概念的分析、比较、理解和相互关联的能力.但是，这些能力的培养不在于对概念图形本身的死记硬背，而在于构图过程中的思考.只有经过思考的概念图，才是有意义的.

本堂课不是采取一上来就给出概念图让学生通过问题一一体会其中的联系，而是借助问题的呈现逐渐在学生脑中描绘出一幅解三角形的思维图.因此，在整节课的教学过程中，教师应充分尊重学生的主体地位，把课堂交给学生，从头至尾教师预设的问题采用“点面结合”的问答方式，既有全班回答也有个人展示，教师只在关键处进行适当小结及学生遇到困难时适当点拨.不过，也正是由于学生活动时间较多以及学生程度不及预期，导致只到问题7便匆匆下课，后面的内容未能完成，概念图的构建也不完整.因此，可以根据学生程度，考虑从“定三角形”和“动三角形”两个方面将本节内容拆分为两个课时进行，以保证达到预期概念图的完整构建.若是将本课拆分为两个课时，内容活动设计可以再丰富一些，如教师可以在问题链的基础上设置一些探索性、开放性问题，将学生分成若干小组合作讨论，甚至可以尝试让学生之间相互编题、解答.

3.3 意义学习是目的

概念图是由诺瓦克教授根据奥苏贝尔的概念同化理论而开发的认知工具，它是为了解决“在教学过程中学生能够按步骤完成相应的任务，但是不能给出合理的原因”这一问题，从而将机械学习转化为有意义学习[1].所谓有意义学习，是指学习者通过将所学的新知识与头脑中已有的旧知识之间产生联系从而掌握新知识的学习方式.

在高三日常的教学活动中，广大教师想必同笔者一样，总是会遇到这样一些情况：平时对学生反复讲解的一类问题，在考试中遇到同样的问题时学生还是不知所措；对旧问题稍加改编，学生就变得一头雾水……出现这些问题的原因正是因为学生仅仅停留在了模仿照抄、机械学习的层面上，而缺少新认知与已有认知间的联系.

基于这一点考虑，本堂课设计之初考虑尽量简化题目的背景条件，以避免学生受到无关信息的干扰.每个条件的变化尽量“小步走”，以期减少学生在不同背景切换中消耗不必要的精力，力求突出方法选择时的思考.从“定三角形”问题设计(问题2～5)，到“动三角形”问题设计(问题6～10)，难度螺旋上升，思维从常规方程思想、函数思想迁移到平面向量、解析法等其他相关内容，建立新旧知识间的联系，最终达到有意义学习的目的.