Shrinking solitons上Ricci曲率的非负性*

2018-12-05 08:52张珠洪
关键词:流形张量曲率

张珠洪

(华南师范大学数学科学学院,广东 广州 510631)

一个黎曼流形(M,g)被称为gradient Ricci soliton(简写为GRS),是指存在一个函数f和一个常数ρ,使得方程

Ric+▽2f=ρg

恒成立,其中Ric是流形的Ricci曲率张量,▽2f是势函数f的Hessian。注意到,如果势函数f是常数,那么GRS的方程将变成Ric=ρg。因此,GRS是Einstein流形的一个自然的推广。如果ρ>0,ρ=0或ρ<0,我们分别称之为shrinking,steady或expanding。Shrinking GRS对应于Hamilton的Ricci flow方程的自相似解,在Ricci flow的奇点分析中起到了非常重要的作用[1]。所以,理解和分类shrinking GRS是Ricci flow的一个核心课题。

一些类型的shrinking GRS已经被完全的分类,譬如3维情形[2],局部共形平坦的高维情形[3-5]。近些年来,在这个课题上还有一些其他的进展[6-9]。事实上,许多关于soliton的研究工作都有一个显著的特征:soliton具有非负曲率。然而,不是所有的shrinking GRS都具有非负曲率[10-11]。尽管如此,在4 维的情形下,Munteanu-Wang[12]证明了4维有限数量曲率的非紧shrinking GRS上曲率算子是渐近非负的。

在本文中,我们主要研究shrinking GRS的曲率的非负性。在一个闭的shrinking GRS上,如果Weyl曲率满足一个拼挤条件,我们将证明Ricci曲率一定是非负的。

其中,{Wijkl}是Weyl曲率张量,而Ricci曲率张量Ric定义为Rik=gjlRijkl,数量曲率R=gikRik。

为了展示我们的主要结论,我们还需要引入一个关于对称矩阵的泛函,这个泛函可以刻画矩阵的特征值的一个分布特征。

定义1 设S是一个n阶对称矩阵,则

现在,我们可以展示本文的主要结论。

(i) Ricci曲率一定是非负的;

(ii) 如果进一步假设Ricci曲率是正的,那么它一定是平凡的,即是Einstein流形。

1 若干引理

设T是流形上的自共轭张量,h是光滑函数,那么,作用于T上的h-Laplacian是指

利用上述定义,我们可以陈述soliton上的一个基本方程[4]。

引理1 在一个 GRS 上,

为了更直观的揭示引理1中的元素Qij=RikjlRkl和|Rij|2,我们选择切空间上的一组基底{ei},使得 Ricci 曲率张量对角化

(Rij)=diag(λ1,λ2,…,λn)

并且满足λ1≤λ2≤…≤λn。那么下述基本事实成立。

引理2

另一方面,利用黎曼如律张量的分解式,截面曲率

所以

证毕。

2 Ricci 曲率的非负性

现在我们可以来证明定理1了。

易由e1延拓得到Tp的一组单位正交基{ei},使得每个ei都是Ricci曲率张量的特征向量,而且对应的特征值满足λ1=Ric(e1,e1)=κR≤λ2≤…≤λn。

另一方面,由极值原理,Δf(Ric-κRg)(e1,e1)≥0。从而根据引理1,

Q11-κ|Rij|2≤0

再利用引理2,可得

直接计算可知,

证毕。

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