代数多项式零点的位置

摘 要：由代数学基本定理可以知道，n次代数多项式有n个零点（其中几重根算几个零点）.本文主要讨论形如的n次代数多项式的零点的位置.第一节讨论任意系数的代数多项式的零点的分布，对一个任意系数的代数多项式，其零点都在某一个圆环内，此圆环大小和位置由多项式的系数决定；第二节讨论系数有一些特殊的代数多项式的零点的位置，如系数是实数的代数多项式的零点位置.

关键词：代數学基本定理；代数多项式；零点.

[中图分类] O17

一 一般系数代数多项式的零点位置

此节讨论系数为任意数的n次代数多项式的零点的范围.为了讨论n次代数多项式的零点位置，让我们先来看一个引理：

引理1 若，则多项式

只有一个正零点.

证明 当时

=，

若要使，则必有.

因为，又因为我们要讨论的是函数的正零点，则在的情况下，函数 必是单调递减的，且当时，；当 时，.由连续函数介值定理可得，必然存在唯一一点，使得，因此只有一个正的零点.

由引理1及其证明过程，我们可以证明一个关于代数方程根的位置的定理：

定理1 对于多项式

的任何一个零点，必有不大于多项式

（1）

的唯一正零点；不小于多项式

（2）

的唯一正零点；

证明（1）是多项式的一个零点.则代入得

.

由此可得：

，

则.

由引理1可知：；

（2）由可知，不是的零点.

假设是的零点，则是的零点，进而也是的零点，

.

假设的唯一正零点是，则由（1）得：，即.

又因为

两边同乘，则有

，

，

即：是的唯一正零点，

由此：.

由（1）（2）得，结论成立，证毕.

定理1说明了代数多项式零点的大致位置，我们只要求出 与即可，而解一个实系数方程的唯一正根这一问题本身是比解一个复系数方程简单而具体的，由此可见定理1还是有一定可行性的，在这里我们来看一个比较简单的例子.

例1 求多项式的零点的位置.

解 假设为的一个零点，由题意：的唯一正零点是，则由定理1得 .

由此，可见此多项式的零点在以原点为圆心，为半径的圆周上.

从例1来看，由定理1 得出的是一个比较完美的结论，但是很多实例并不是像定理1一样完美，因为不是每一个实系数代数方程都可以像例1中的方程一样容易得到一个很好的解，为了防止出现这种情况，我们再引入另一个定理：

定理2 若是的某一零点，则

，

其中是正数，且；

证明 设，假设 .

由引理1与定理1可知，必有

此时我们只要证明此式成立即可，又因为

由此可得，结论成立.

对于定理2，如果能适当的选取（）的大小，就可以很方便的得到方程根的适当位置，此处提供几个可供选择的的特例，仅供参考：

（1）；

（2）；

（3）.

二 特殊系数代数多项式零点位置

第一节讨论的是任意系数代数多项式的零点的范围，在本节我们来讨论系数特殊的代数多项式的零点的范围：

引理2 对次多项式，若系数有这样的关系：，则在单位圆内有个零点；

证明 令，

.

因为，则在单位圆周上有.

又因为在单位圆内有个零点，则由儒歇定理得：在单位圆内也有个零点.

由引理2，我们可以得到另一个定理：

定理3 若为多项式的某零点，

若有

，则必在单位圆内；

若有

，

则必在单位圆外.

在这里有一个很有意思的结论，这是对于实系数代数多项式来说的：

结论1 对于多项式

，

若有

，

则的零点必在单位圆外.

证明 用反证法：

（1）对于单位圆盘，当时

=

由此可知；

（2）当时，直接代入得：；

由（1）（2）可知，多项式的零点不可能在单位圆盘内.

可以看出，代数方程根的位置与系数之间的关系是很密切的，如果能方便的找到这种关系，就能很容易确定根的位置，下面这个定理就很明白的说明了这一点.

定理4假设多项式的系数都是正的，则它的零点位于圆环内，其中，.

证明 设.

（1）用代替z，则的零点为，

因

，

由结论1，只要，则的零点不在内.

即只要（），就有的零点不在内，也就是当时，的零点在上；

（2）用代替z，则的零点为.

此时

，

即：.

由结论1，只要

，

则的零点不在内.

即只要

（），

就有的零点不在内.即当时，也就是时，的零点不在内.由此：的零点在内.

由（1）（2）得：多项式的零点位于圆环内.

上面的定理3，定理4实际上讨论的都是特殊的具体问题，虽然并不如定理1，定理2一样可用于任何一个代数方程，却为求一些出现频率很高的代数多项式零点的位置找到了很好的解决方法，这是值得借鉴的.

结论

本论文探讨的是代数方程根的位置问题，从两个方面讨论了代数多项式的零点的位置，从而为解决代数方程的根找到了一个比较可靠的检验方法，虽然还并不很完善，但是此方法还是有一定效果的，并可以运用于实践.本论文还存在一些漏洞，这有待于继续研究.

参考文献

[1]钟玉泉.复变函数论.北京：高等教育出版社，1988.

[2]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数.北京：高等教育出版社，1998.

[3]G.波利亚，G.舍贵.数学分析中的问题和定理.上海：上海科学技术出版社，1981.

作者简介

聂海燕（1969—），女，山西晋中人，讲师，山东省淄博职业学院教师，主要从事数学科研与教育教学工作。

（作者单位：淄博职业学院）