通过极点配置方法设计分流扬声器

柳维玮， 毛崎波,2

(1. 南昌航空大学 飞行器工程学院，南昌 330063； 2. 扬州大学 机械工程学院，江苏 扬州 225127)

管道噪声控制通常采用主动控制手段和阻尼材料隔声吸声的被动控制手段[1-2]。然而，庞大的控制系统和复杂的算法阻碍了主动控制噪声的发展，运用隔声吸声材料的被动控制的效果随噪声频率的降低随之减弱的缺点也使得这种控制方式受到限制[3-4]。

近年来，压电分流阻尼控制技术在结构振动控制领域受到了广泛关注。

Fleming等[5]首先提出把分流阻尼技术推广应用于噪声控制，即在扬声器电极两端与分流电路相连接，通过设计分流电路使得分流扬声器吸声峰值的频率改变。这种分流扬声器技术的主要优点在于控制系统不需要误差传感器，也不需要主动控制技术中的功放，结构简单，调节参数方便，适于工程实践推广应用。Zhang等采用分流扬声器主动控制对低频的管道噪声抑制展开了研究。Tao等采用了分流扬声器和微穿孔板组合的方式对宽频的管道噪声控制取得良好的控制效果。Lissek等[6]为分流扬声器设计了宽频的分流电路。但是这些研究对分流扬声器参数设计，特别是分流扬声器最佳位置的选择并没有详细阐述。

本文从建立分流扬声器和管道的数学模型出发，提出极点配置方法设计分流扬声器。推导出分流扬声器RLC并联电路的最佳参数值，以及分流扬声器的最佳位置。并且通过数值计算验证所设计的分流扬声器控制管道噪声的效果。

1 模型建立

1.1 管道扬声器耦合模型

假设有一个长为Lx的管道，侧边装有一个作为控制的扬声器。扬声器与分流电路相连接，相当于将压电阻尼系统中的压电换能器换为扬声器，由此将这个扬声器命名为分流扬声器。管道和扬声器的布置方式如图1所示。

管道内的模态压力可以表示为[7]

(1)

式中:ρ0和c0分别为空气密度和声速；ζn为管道第n阶声模态的阻尼比；ωn为第n阶固有频率；Pn为对应第n阶模态坐标下的声压系数；Fsh,n为由分流扬声器在第n阶所产生的模态压强

(2)

式中：xsh为分流扬声器纸盆表面的位移；Xsh为分流扬声器的坐标位置；Ssh为分流扬声器纸盆的面积；Ωn为第n阶归一化的声模态函数

(3)

1.2 分流扬声器模型

扬声器的机械模型如图2所示，扬声器运动方程可表示为[8-9]

(4)

式中：Mm，Cm和Km分别为扬声器的移动质量，阻尼和刚度；Bl为音圈的力电耦合因数；I为电流；p为作用在纸盆上的压强

(5)

图2 扬声器的机械模型Fig.2 Mechanical model of loudspeaker

式中：pF和pR分别为纸盆前面和背面的压强；Vsh为扬声器背腔体积。

然而式(4)中的扬声器输入电流I并不能直接得到，扬声器等效电路原理图如图3所示。根据扬声器的等效电路原理可以得到扬声器的输入电压Vin与电流I的关系[10-11]

(6)

式中：Lm和Rm是扬声器自身的电感和电阻；Bl为音圈的力电耦合因数。

对于所提出的分流扬声器，由于没有外接电源，所以Vin为分流电路两端电压，可以将其电压定义为

Vin=-ZshI

(7)

式中：Zsh为分流电路的阻抗。

设计分流电路目的是通过改变分流电路的元件参数，调节扬声器等效质量、阻尼和刚度，从而改变扬声器的固有频率和阻尼比。为此选择采用如图3所示的分流电路。基本思路为: 首先通过集成运放实现负电阻和负电感来抵消扬声器自身的电阻值及电感值，再加入一组并联的RLC电路，使得扬声器的固有频率和阻尼比可以独立调节。

由图3所示电路元件的连接方式可以得到分流电路的等效阻抗为

(8)

式中：Cs，Rs和Ls分别为分流电路中并联的电容、电阻和电感。

图3 分流电路原理图Fig.3 Shunt circuit schematic

将式(4)和式(6)～式(8)联立求解，整理后可以得到

(9)

从式(9)可以发现，分流电路中的电容Cs、电阻Rs和电感Ls分别改变的是分流扬声器的等效质量、等效阻尼和等效刚度。当预想调节分流扬声器的固有频率时，可以通过调节分流电路的电容值Cs，也可以通过调节分流电路的电感值Ls使分流扬声器固有频率改变。这里假设电容值Cs为定值，通过调节分流电路的电感值Ls使其固有频率改变。

2 极点配置方法

考虑作为输出量的声压系数Pn，将式(9)代入式(1)中，并对其进行拉式变换，整理可以得到极点的特征方程

(10)

式中:Msh=Mm+(Bl)2·Cs;Csh=Cm+(Bl)2/Rs;Ksh=KT+(Bl)2/Ls。

通过式(10)的形式可以知道特征方程在复平面有两对共轭复根。假设这两对共轭复根为s1,2=A1±iB1，s3,4=A2±iB2， 其中A1和A2是负实数。由文献[12]可知，对于系统的动态响应，极点离虚轴越远动态分量衰减越快，并且起主导作用的是离虚轴最近的主导极点。定义主导极点与虚轴距离为rd=min{|Re(si)|}。因此，对分流电路的优化即是将主导极点与虚轴距离rd最大化。也就是说，只有当A1=A2=A，B1=B2=B时，rd的值最大。所以可以把式(10)重新表示为

(s2-2sA+A2+B2)2=0

(11)

将式(11)展开表示为

s4+(-4A)·s3+(6A2+2B2)·s2+
(-4A3-4AB2)·s+(A2+B2)2=0

(12)

若要使rd的值最大，则式(10)必须满足式(12)的形式，由此得到4个代数方程

(13)

由于前面假设电感值Cs为定值，即Msh为定值。通过求解式(13)即可得到分流扬声器的最佳等效阻尼以及最佳等效刚度,再将其代入式(10)中，即可以得到分流电路的最佳电阻值以及最佳电感值

(14)

(15)

从式(14)可以看出，最佳电阻值不仅与所控制的频率有关，还与分流扬声器的位置Xsh有关。

3 数值计算

根据第2节所建立的扬声器-管道模型，假设管道及扬声器参数如表1及表2所示。通过MATLAB软件编程计算得到管道噪声的前四阶固有频率分别为: 147 Hz, 289 Hz, 431 Hz, 574 Hz。现在设计扬声器分流电路，分别控制管道的前四阶噪声，选用电容值为Cs=100 nF，运用极点配置方法，通过式(15)可得分流电路参数的最佳电感值分别为: (Ls)opt1=0.002 8 H，(Ls)opt2=6.574×10-4H， (Ls)opt3=2.911×10-4H， (Ls)opt4=1.633×10-4H。

表1 管道参数表Tab.1 Duct parameters

表2 扬声器参数表Tab.2 Loudspeakers parameters

当分流扬声器位于Xsh=0.8 m时，由式(14)可知，控制前四阶模态时的最佳电阻值分别为(Rs)opt1=5.086 Ω，(Rs)opt2=4.978 Ω，(Rs)opt3=2.103 Ω，(Rs)opt4=4.775 Ω。所得控制效果如图4所示，从图4可以发现，本文所提出的分流扬声器的设计方法能够有效控制所针对的模态。

为了进一步分析分流扬声器的控制效果，通过改变分流扬声器的位置Xsh，得到分流扬声器不同位置时，控制前四阶管道噪声模态的最佳电阻值曲线图，如图5所示。

通过前面的分析可知，分流电路中的电阻值与分流扬声器的等效阻尼密切相关。而最佳电阻值的选取与分流扬声器的位置有关，这就表示分流扬声器的位置对管道噪声的控制效果有很大影响。并且从图5可以发现，对于控制管道噪声的不同模态，最佳电阻值的选取也随之变化，这说明控制管道噪声的不同模态，布置分流扬声器的最佳位置不同。

图4 管道噪声控制效果图Fig.4 Duct noise control effect diagram

图5 分流扬声器不同位置时最佳电阻值曲线图Fig.5 Optimal resistance value curve of different shunt loudspeaker position

分别取管道噪声的前四阶固有频率的±50 Hz的频带作为研究对象。将分流扬声器的位置作为变量，将控制前管道噪声的声压均方与控制后管道噪声的声压均方之差比上激励源声压均方的值作为目标衰减值，作出曲线，如图6所示。从图中可以看出，分流扬声器控制效果基本沿着X方向对称分布。控制管道噪声第一阶模态时，最佳分流扬声器位置在管道的端口处；控制管道噪声第二阶模态时，最佳分流扬声器位置位于管道中间处；控制管道噪声第三阶模态时，最佳分流扬声器位置位于2/3管道长度位置或端口处；而控制管道噪声第四阶模态时，最佳位置可以选择为1/4倍数管道长度位置处。这是因为，当分流扬声器位于模态节线位置时，控制效果很差，而当分流扬声器位于目标模态的最大幅值最大值位置时，控制效果最好。

图6 分流扬声器控制管道噪声的评价控制效果Fig.6 The evaluation control effect of shunt loudspeaker control duct noise

4 实验研究

根据前面所述的方法搭建实验平台，其管道以及扬声器的参数同数值计算中表1和表2所用参数一致。采用均布的五个检测麦克风来测试管道内的声压。实验图片如图7所示。

图7 实验图片Fig.7 Material photo of experiment

选择第一阶模态作为控制对象。根据前面数值计算分析的结果，最优的分流扬声器位置位于管道端口处Xsh=0，分流电路的最佳电感值与最佳电阻值分别为(Ls)opt1=0.002 8 H， (Rs)opt=3.705 8 Ω。选择与第一阶固有频率相同的147 Hz单频噪声源信号进行激励，其控制结果如图8所示。

从图8中可以看出，检测麦克风输出量明显下降。由于是手动开关控制，所以响应图略带毛刺，而系统的响应速度快。控制后的声压约为控制前声压的35%。这验证了所设计的分流扬声器控制管道噪声的可行性以及对其数值计算的正确性。

图8 第一阶固有频率噪声控制效果图Fig.8 First natural frequency noise control effect diagram

5 结 论

通过建立分流扬声器以及管道-扬声器耦合的数学模型出发，得到控制系统的极点特征方程。运用主导极点决定系统动态衰减快慢的特性，假设分流电路所采用的电容值为一定值，从极点特征方程中求解得到分流扬声器的最佳等效阻尼和最佳等效刚度，从而计算出最佳电感值以及最佳电阻值。通过分析不同的分流扬声器位置，得到最佳电阻值曲线，并且计算得到不同模态下的管道噪声的平价控制效果，从而得到最佳的分流扬声器位置处于模态最大值处。采用数值计算和实验检验所设计的分流扬声器对管道噪声的控制效果，结果表明: 采用极点配置方法所设计的分流扬声器控制管道噪声的效果良好。