重“阅读能力”,重“概念理解”

2018-12-21 01:38刘护灵
广东教育·高中 2018年10期
关键词:题意概率费用

刘护灵

概率与统计在高中数学中具有独立性,由于和实际生活联系紧密,同时又是大学统计学的基础,起着承上启下的作用,现已成为高考持续的热点.2018 年高考数学全国I卷试题难度适中、稳中求變、导向明确,体现了基础性、综合性、应用性和创新性,其中概率统计题在理科试卷中仍是以一道小题(选择题第3题)加一道大题(解答题第20题),所占分值仍然是5+12=17分,值得注意的是,和历届高考试题不同,今年概率统计大题放在了大题中的第四道(排在了解析几何大题后面),意味着难度有了一定的增加.

一、原题呈现

例题.(12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(0

(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.

(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.

(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?

二、第一问的分析与解

拿到试卷看到试题的第一印象是,题目文字很多,这是近几年高考数学试题的特点.需要同学们静心阅读文字材料,看懂每一个条件的意义和作用.

(1)第一句是大前提:“某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.”

(2)第二句指明了检验的方法:“检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验,设每件产品为不合格品的概率都为p(0

前面两句话正是统计在生活中的典型应用——抽样检验,而不是全部每一件都检验.

第一问“记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0”.

问题1:什么叫“20件产品中恰有2件不合格品”?

问题2:若改为“20件产品中恰有3件不合格品”,又怎么求?

问题3:还可以怎么问?如改为“20件产品中至多有2件不合格品”?或者“20件产品中至少有2件不合格品”?

综合以上问题,这里考察的是:n次独立重复实验中,恰好发生k次的概率.

基础知识复习链接:

1. 独立重复试验的定义:

指在同样条件下进行的,各次之间相互独立的一种试验

2. 独立重复试验的概率公式:

一般地,如果在1次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率Pn(k)=[Ck][n] P k(1-P)n-k.

它是[(1-P)+P]n展开式的第k+1项.

三、第二问的分析与解

由(1)知,p=0.1.

第二问有两个小问,第(i)个小问求:若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX.

这道题目的难点在于,赔偿费用的和X并不是一个直接的随机变量!“赔偿费用”是和“余下的180件产品中的不合格品件数”密切相关的.

所以,必须设一个新元,例如设Y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),

而X=20×2+25Y,即X=40+25Y.

所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.

(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.

由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.

反思3:在学习概率统计时,要理解概念,掌握课本中关于以下方面的基础知识:

①什么叫“一次试验”“一次试验结果具有什么特征”?

②依托具体情境领悟“等可能”“互斥(对立)”“独立”关系.

③能将复杂事件分解为“互斥和”“独立积”.

④分布列性质(非负、和为1),期望公式,方差公式.

⑤二项分布、几何分布及正态分布.

⑥频率分布条形图和直方图及应用.

⑦抽样方法和线性回归.

反思4:回顾本题的解决过程,实际上是考察学生对问题题意的正确理解,对基本概念的真正掌握(例如什么是“独立重复实验”,等等).《普通高中数学课程标准》指出:“数学教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握, 对一些核心的概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终, 帮助学生逐步理解.由于数学高度抽象的特点, 注意体现基本概念的来龙去脉.在教学中要引导学生经历具体实例抽象数学概念的过程, 在初步运用中逐步理解概念的本质”. 数学概念内涵与外延的理解需要通过解题来完成, 解题之后留给学生的应是概念而不是题.

反思5:要重视培养数学的阅读能力.华南师范大学数学系刘秀湘教授在评述2017 年全国卷试题时,认为2017年数学卷加强了数学阅读与表达能力, 学生的答卷反映出“ 哪里不会考哪里!”, 特别是2017年理科第 19 题的解答非常不理想. 实际上,2018年的理科概率题一样对考生阅读题意的能力要求很高.从实际教学来看, 中学数学教学对数学语言的表达、数学符号书写的规范性强调较多, 但对数学的阅读强调不足.

责任编辑 徐国坚

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