等距圆锥螺旋线数理性质的初探

涂德新 姜付锦

(江西师范大学附属中学 江西 南昌 330046)(武汉市黄陂区第一中学 湖北 武汉 430300)

如果质点沿阿基米德螺线(等速螺线)运动的同时沿垂直于该平面的方向匀速运动, 于是质点的合运动所形成的轨迹就是等距圆锥螺旋线(以下简称螺旋线).下面首先用物理方法研究螺旋线的曲率半径, 接着研究质点在重力的作用下沿光滑螺旋线运动时受到的作用力,并在直角坐标系和自然坐标系中求解,得到了相同的结果.

1 螺旋线的曲率半径

1.1 建立螺旋线的参数方程

如图1所示,建立直角坐标系O-xyz, 圆锥的半顶角为α, 螺距为2πl, 一个质量为m的小球从坐标原点由静止开始沿光滑的螺旋线运动. 重力加速度为g.

图1 直角坐标系下的圆锥螺旋线

以极角φ为参数可以建立螺旋线的参数方程

x=kφcosφy=kφsinφz=kφcotα

考虑到一个螺距为2πl, 于是

2πlsinα=k2π

可得

k=lsinα

则

x=lsinα·φcosφ

y=lsinα·φsinφ

z=lcosα·φ

1.2 物理方法求曲率半径

可以求得

曲率半径ρ与向心加速度an间存在关系

(1)

分析有

其中

可以求得

将相关参量代入式(1)可得

1.3 数值模拟

数值模拟如图2、图3所示.

图2 小球三维空间中的运动轨迹

图3 曲率半径与极角关系

2 小球受到螺旋线的作用力

2.1 直角坐标系中求解

小球沿光滑的轨道运动, 其机械能守恒

即

可以求得

(2)

再求二阶导数可得

(3)

在这种情况下

对小球写3个方向的牛顿第二定律

小球受到的作用力为

代入可得

(4)

将式(2)、式(3)代入式(4)并化简求解得

(5)

其中

A=19sin2α+2sin22α-3sin23α

B=63sin2α+34sin22α-15sin23α

C=48sin2α+72sin22α

D=16sin2α

2.2 自然坐标系中求解

空间曲线上的某点存在3个向量:切向向量﹑主法向向量和次法向向量.切向向量指向弧坐标的正向, 主法向向量指向曲率中心, 切向向量和主法向向量构成密切平面(曲率平面), 次法向向量与这个平面垂直, 切向向量与次法向向量决定的平面为从切面(直切面).动点的速度和切向加速度均与切向向量平行, 动点的法向加速度沿主法向向量的方向,这3个向量构成的右手坐标系即自然坐标系. 下面求解螺旋线上某点的切向向量A﹑次法向向量B和主法向向量C.

以极角φ为参变量，依照前面的分析有

(sin φ+φcos φ)j+cot α·k

展开得

B=-(2cosφ-φsinφ)cotα·i+

(-2sinφ-φcosφ)cotα·j+(2+φ2)k

C=B×A=

展开得

C=Cxi+Cyj+Czk

其中

Cx=-(2sinφ+φcosφ)cot2α-

(2+φ2)(sinφ+φcosφ)

Cy=(2+φ2)(cosφ-φsinφ)+

(2cosφ-φsinφ)cot2α

Cz=-φcotα

可以对小球写切线方向的牛顿第二定律, 从法线方向的平衡方程和主法线方向的牛顿第二定律

mgk·A0=maA

mgk·B0=NB

mgk·C0+NC=maC

其中A0,B0,C0分别为切线方向﹑从法线方向和主法线方向的单位向量.

aC为法向加速度

代入可得

可以求得

以及

NC=NC1+NC2

其中

NC2=mgcotα·φ·[(1+φ2)(2+φ2)2+

小球受到的作用力

代入可以求得N2的表达式同式(5)一致.

2.3 数值模拟

2.3.1小球受到的作用力与极角的图像

如图4所示, 两种坐标系中分析结果的图像完全重合. 可以发现作用力不断增加, 存在极限值, 分析式(5)可以求得

其中

A=19sin2α+2sin22α-3sin23α

图4 作用力与极角的关系

2.3.2 小球受到的作用力与时间的图像

可以写成

这个积分涉及到椭圆积分和复变函数，所以时间与极角的关系很难写成显性解析式,定积分结果中含有椭圆积分和复变函数

小球运动的时间t与极角φ的关系数值模拟如图5所示.

图5 时间与极角的关系图

考虑到时间t﹑极角φ和作用力N是一一对应的, 可以数值模拟出作用力与时间的图像如图6所示.

图6 作用力与时间的关系图

3 结语

本文用物理方法求螺旋线的曲率半径, 过程简洁, 思路清晰. 用两种办法求螺旋线对小球的作用力, 直角坐标系中求解过程简单明了.自然坐标系中虽然比较复杂, 却很有意义：小球沿空间曲线运动时, 其速度和切向加速度均与切向向量平行, 法向加速度沿主法向向量的方向, 在从法向向量的方向是平衡的.并且所有的量均可以表示成极角的函数，结果发现两种方法的计算结果一致.本文还对曲率半径和小球受到的作用力进行了数值模拟，这对我们的教学研究有一定的借鉴.