绳杆关联系统若干问题研究

崔慕添

(锦州市锦州中学 辽宁 锦州 121000)

绳杆关联系统是高中物理中常见的理想模型.该模型涉及速度、加速度、能量、动量等问题，除加速度问题外，均为高考物理重点内容.绳杆关联系统也是自主招生和物理竞赛的热点.在研究绳杆关联系统时，有两个基本假设作为研究前提：一是绳杆的重力不考虑，二是绳杆的形变量不计.

本文将研究高中物理中几个典型的绳杆关联系统模型.

模型一：如图1所示，A车用轻绳跨过光滑的定滑轮(不计滑轮的质量和摩擦)牵引B物块向上运动.在某时刻，与A车相连的轻绳与水平面夹角为θ.

图1 模型一示意图

模型二：如图2所示，岸上的人用绕过定滑轮的不可伸长的轻绳拉小船，使小船以v0匀速靠岸.某时刻绳与水平面夹角为θ.

图2 模型二示意图

模型三：如图3所示，长为L的均匀直杆两端固定着两个小球A和B, A球在竖直墙壁上运动，B球在水平地面上运动.某时刻，杆与竖直方向的夹角为θ.

图3 模型三示意图

1 绳杆系统的速度关系

研究绳杆关联系统的速度关系时，正确判断研究对象的实际运动，分清分运动的实际效果是解决问题的关键.可以根据运动效果，选择合适的研究对象.

讨论绳杆关联系统速度问题的文章很多，这里不再重复讨论，仅给出确定绳杆关联系统速度关系的通用方法.

步骤一：对产生两个作用效果(速度与弹力不在同一直线)的物体，分解其合速度.

步骤二：利用沿绳(杆)方向速度相等，将物体的速度按照沿绳(杆)和垂直绳(杆)方向进行分解.

现根据给出的方法，对文中模型进行讨论.

对模型一，A车运动过程中产生两个效果：一是沿绳子方向拉伸绳子，二是使绳子绕定滑轮逆时针的摆动[1].A车受到的拉力方向左上，合速度方向水平向右，两者不在同一直线，应分解A车速度.如图4所示，将A车速度vA分解成沿绳的速度vA1与垂直于绳的速度vA2.利用沿绳方向速度相等，可得

vB=vA1=vAcosθ

图4 A车速度分解示意图

对模型二，绳对船的拉力方向左上，船的速度水平向左，两者不在同一直线上，故对船的速度进行分解.如图5所示，利用沿绳方向速度相等，有

v0=v船cosθ

图5 船的速度分解示意图

对模型三，A球的合速度方向竖直向下，B球的合速度方向水平向右，杆对A，B两球的弹力方向与A，B两球的合速度均不在同一条直线上，故A，B两球的合速度均需分解.将vA分解成沿杆的速度vA1与垂直于杆的速度vA2，将vB分解成沿杆的速度vB1与垂直于杆的速度vB2.如图6所示，利用沿杆方向速度相等，有vA1=vB1，即

vAcosθ=vBsinθ

图6 A,B球速度分解示意图

2 绳杆系统的加速度关系

绳杆系统的加速度并不遵循类似于速度分解那样的关系.下面，通过对3个典型模型的具体讨论加以说明.

对于模型一，如图7所示，A车的第一个分运动产生两个加速度，分别为切向加速度aτ和向心加速度an；A车的第二个分运动产生径向加速度ar[2].如图8所示，aA可沿着绳方向和垂直于绳方向分解，两个方向的分量分别为aAcosθ和aAsinθ[3].因此，有

图7 A车第一个分运动加速度分解示意图

图8 A车第二个分运动加速度分解示意图

B物体的运动方向沿绳，故其加速度

aB=ar=aAcosθ+an

联立各式，可得

即A车与B物体间的加速度关系满足

对于模型二，以河岸为参考系，绳与定滑轮相切处为坐标原点，建立如图9所示的坐标系[4].

图9 模型二建立的坐标系

取r和θ为参量，则船的坐标可以表示为

x=rcosθy=rsinθ

其中，x,r,θ均是时间t的变量.

因小船水平向左运动，故有y=h.上述两式等号两边同时对时间t求导，并联立各式，可得

由上述两式得，小船的加速度

其中，负号表示船的加速度方向沿x轴负方向.

对于模型三，以B球为参考系，A球绕B球做逆时针的圆周运动[2].如图10所示.

图10 以B球为参考系，A球运动分解示意图

规定向右为正方向，设A球相对于B球转动的速度为v相.根据运动效果，可将v相分解为vA和-vB两个互相垂直的分量.因此，相对速度大小

设aA和-aB分别为vA和-vB产生的加速度，它们产生合加速度a相.a相具有沿杆和垂直杆两个效果，加速度分别为an和aτ，如图11所示.

图11 以B球为参考系，A球加速度分解示意图

可求出，aA和aB之间满足

通过对上面3种典型模型的讨论可知，影响绳杆关联系统加速度的因素包括两方面：一是关联系统中物体的速度，二是关联系统中物体间的距离.需要强调一点，绳杆关联系统中不存在“沿杆方向加速度相等”的关系.

3 绳杆系统的能量与动量问题

在判别绳杆系统速度关系、位置变化等问题中，由于经常与能量、动量问题相联系，综合性非常强.

下面给出一道典型例题，并以此总结此类问题的求解方法.

【例1】如图12所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d.杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点正下方距离为d处.现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，求：

(1)环到达B处时，重物上升的高度h；

(2)若环到达B处时速度大小为v，求此时重物速度大小v物；

(3)环从A处静止释放到B处过程中，环克服轻绳拉力做的功W；

(4)环从A处静止释放到B处过程中，绳对环拉力的冲量大小I；

(5)环能下降的最大高度H.

图12 例1题图

解析：环释放后，重物由静止开始先加速上升后减速上升到最高点.环和重物组成的系统机械能守恒.

(1)根据几何关系有，环从A下滑至B点时，下降的高度为d，则重物上升的高度

(2)环到达B处时，在沿绳子方向上的分速度等于重物的速度，有

vcos 45°=v物

环和重物组成的系统机械能守恒，则有

联立各式，解得

(3)环从A运动到B的过程中，对环运用动能定理，有

联立各式，解得

(4)规定向下为正方向，环从A运动到B的过程中，因绳对环拉力的冲量不在竖直方向上，运用动量定理非常麻烦.因此，对重物、环与重物组成的系统分别应用动量定理.

对重物运用动量定理，有

2mgt-I=2m(-v物)-0

对环与重物组成的系统运用动量定理，有

mgt+2mgt=mv+2m(-v物)

联立各式，解得

解得

解决绳杆系统能量、动量问题应注意以下几个方面：一是明确系统机械能守恒定律成立的条件，合理使用整体法与隔离法，正确使用动量定理；二是两关联物体的速度大小关系，把握住沿绳或杆方向速度相等；三是明确各物体高度变化关系，相关联的物体高度变化不一定相等.