浅谈高中数学集合问题

顾芷萌 湖北省武昌实验中学

1 高中数学集合问题简介

集合是高中数学中比较基础一个概念，因此其相关问题在各种高中数学考试中就有着比较广发的出现，其中也多是比较简单的问题，难度为中偏高程度的题目只偶尔有出现。当前我国高中数学的集合问题，主要有三个方面的内容。其一，高中生对数学集合的概念理解程度和对集合思想的运用。其二，元素、集合及其各自内部之间的关系。其三，集合的基本运算。另外，在高中数学诸多的考试之中，集合也多与其它如方程、三角函数和几何概型等知识点结合在一起，组成题目。

如上所述，集合问题相对来说，比较简单，并无比较刁钻古怪的考法。从这方面来讲，高中生在解答集合问题的时候，就不应该存在太大的问题，然而现实情况却正好与设想不一样，高中生很容易丢失掉原本能够得到的集合问题的分数。集合在高中数学的整个知识体系中属于比较基础的一部分，对其相关问题的解答，就很依赖于高中生集合相关知识的掌握程度。部分高中生之所以会丢失掉集合问题的分数，很大程度上就是因为其基础知识掌握地不够牢固。

2 如何解决高中数学中的集合问题

通过过往所积累的解答集合问题的经验可知，高中生因为基础知识掌握程度不够而导致集合问题解答成果不理想主要有没有考虑集合所具有的“互异性”、没有考虑0，{0}，φ，{φ}之间的关联、没有考虑空集的特殊性质和没有考虑数集与点集之间的差异四个具体的表现。以下就将从这几个方面分别详细分析应当如何解决高中数学中的集合问题。

2.1 对集合的“互异性”缺乏考虑

所谓互异性，即是指在集合中的任意两个元素都不相同。

例：假设有一集合为{a+2,（a+1）2，a2+3a+3}，已知其中有一元素为一，则实数a的数值应当是＿。

此题中，高中生要想解答问题、求解出实数a的值，就要运用讨论这种数学思想，将关于a的一元一次方程和一元二次方程分别构建出来。值得注意的是，由于这个讨论、解答的过程比较复杂，高中生在解答的时候，就很容易忽视了集合的“互异性”。

解：当a+2=1时，a=-1，则有a2+3a+3=1，明显违背了集合的互异性，∴a+2=1不成立。

当（a+1）2=1时，有a=0和a=-2两种情况，当a=0时，a+2=2，a2+3a+3=3,符合相关要求。

当a=-2时，a+2=0，a2+3a+3=1，不满足集合的互异性要求。

当a2+3a+3=1的时候，有a=-1和a=-2两种情况，当a=-1时，a+2=1，不符合相关要求，当a=-2时，a+2=0，a+1）2=1，亦不符合相关要求。

综合上述条件，可知，a=0。

2.2 对 0，{0}，φ，{φ}之间的关系缺乏考虑

0只是一个自然数，并不是集合，{0}才是集合，其只有0一个元素。而φ是一种集合，但是其没有任何元素，{φ}也是一个集合，其只有唯一的元素φ。由此可知，φ∈{φ}，同时因为空集的特殊性可知，通过这一番表述可以看出，φ和{φ}之间可以使用∈、等符号中的任意一个来连接，但是二者之间的连接却不可以通过“=”来实现。对这种知识点的考察通常出现在概念理论类的集合问题中，高中生要想能够解答好这类问题，重点就在于要明确各种符号的使用范围和各种特殊集合之间的关系。

2.3 对φ的特殊性质缺乏考虑

空集是一个十分特殊的集合，其具有十分独特的性质，在各种对集合问题的考察中常有出现。然而部分高中生在解答题目的时候，常常会因为疏忽等，而忽视了其的特殊性。

例：假设有一集合为A={x|x2-8x+15=0}，另有一集合为B={x|ax-1=0}，如果那么实数a的值应当是？

在这道题目中，首先由题目中所给条件可得，A有两个元素，分别为3,5。很多高中生在解答的时候，都没有考虑到B为空集的可能，从而求得实数a的数值为，最终也就不能得到所有的分数。

2.4 对数集、点集之间的差异缺乏考虑

高中生在解答集合问题的时候，常常会在点集的书写上出现很大错误，如将点集 （{1,2）}写成{1,2}或者{x=1，y=2}。另有部分高中生在点集的认识上也出现了一些问题，如将集 合{y|y=x2+1,x∈R}等 同 于 （{x，y）|y=x2+1,x∈R}或{x|y=x2+1,x∈R}。而且还有部分高中生，在进行补集操作的时候，没有对前提条件进行充分的考虑。

高中生在解答这一题目的时候，常常会犯两种错误，一是认为全集是所有实数的集合，一是缺乏对全集U的考虑，其最终所得的C∪A={x|x≤10}。但是将全集U考虑进来后，因为U={x|x≥7}，最终所得到结果就应该为C∪A={x|7＜x＜10}。

3 结束语

集合问题虽然比较基础，其一般难度也不高，但是其中却有着许许多多的陷阱。而高中生在解答集合问题时，要想有一个比较好的解答效率和结果，就要避开这些陷阱。具体来说，高中生一要牢牢掌握基础的知识，二在解答的时候，要特别注意解答思路的周全。

[1]蔡勇全.问诊集合问题中的若干典型错解[J].理科考试研究:高中版, 2017, 24(5):24-26.