高中数学函数问题的巧解

胡铄阳 湖北省武汉市建港中学

1 函数基本概念和特点

函数的题目形式总是千变万化，若要想顺利的解答函数问题，首先要做的是掌握最基本的技巧和方式。在对函数知识进行学习时，我们要先对函数的基本概念进行了解，同时还要对函数最基本的三个要素进行掌握。概念可以说是数学学习基础，在很多历年高考题中都有对基本概念的考查，函数概念贯彻了小学、初中、高中，其中包括了数、式、方程、不等式及其函数等等。除了对函数的基本概念了解之外，还需要对函数的三个要素进行了解。函数的三个要素包括：定义域、值域及其对应法则。究其本质，函数实际是一个研究变量和定量的过程中。学好函数能在更高的角度上处理各个方程、不等式和函数的关系。函数的三个要素是解所有函数题的基础观点。而函数观点，其实际上是把问题放在动态之上，然后再对问题进行考虑。函数问题是考试中经常遇到的问题，我们要想提升自己的考试成绩，就必须要掌握一定的解题技巧，这样才能正确解答题目。通过题目的解析不但能够积累自己的解题经验，同时还能够提升自己的解题能力。

2 高中数学函数问题的解题方式

函数问题的解题方式有很多，在对这些函数问题进行解答时，我们要先观察题目的具体类型，然后根据实际提出的问题进行解答。

2.1 对函数最值问题的巧解

最值一直是函数问题中最常见的一种。对最值问题进行解答的方式也有很多，其中包括了换元法、数形结合法、导数法以及配凑法等。以下就以配凑法为例子进行详细的叙述：

配凑法比较适用于分式中，比如分子分布多项式的最高次幂不同；分子分布最高次幂相同，但是分子中包含c 的多项式和分母中包含x的多项式成比例。前一种情况只需要把高次幂多项式化解成与低次幂多项式相同的形式，然后再约分，再使用不等式或者是函数单调性进行判断。第二种可以直接简化成多项式和分式结构，然后再进行判断。

2.2 对函数证明题进行巧解

很多函数试题总是使用抽象函数来考查函数性质，这些抽象函数一般是由具体函数转变而来的。在对这种类型的问题进行解答时，可以使用特殊函数代替抽象函数，然后再对具体函数性质进行研究，最后再反追到抽象函数中。例如以下这道例题：函数f（x）符合以下这些条件：其一是x∈R，其二是对于任意实数有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）+f（y）；其三是存在一个正式 a，并且）=0.请问f（x）是都是周期函数？若是请证明并且指出其中的一个周期，若不是请说明。

解析：这道函数问题的主要核心是判断f（x）是否是周期函数，也就是是否存在一个非零常数T。在x∈R的时候，满足f（x+T）=f（x）。而f（x）是一个抽象函数，若是没有任何依据去猜测其是否是周期函数，并且指出其中的一个周期，这个过程是非常困难和复杂的。因此，我们在解答的时候要首先观察函数f（x）满足的另一个条件：f（x+y）+f（x-y）=2f（x）+f（y），在这个条件的基础上就很容易想到三角函数差积公式能够符合条件，也就是 cos（x+y）+cos（x-y）=2cosxcosy，并且cosx也能够满足题目中的第一与第三个条件，也就是定义域是全部实数，并且也存在一个正数π，满足cos（）=0.所以我们在解题是可以将f（x）化解成为cosx，这样就能够看出cosx是周期函数，并且周期是2π。通过这种方式就能够正确的做好这道证明题。

2.3 巧解函数解析式

函数解析式的解答方式有很多，其中常用的就是定义法。定义法是给出函数解析式，经过配方和凑项的方式使其变形，转换成有关自变量的表达式，然后将x代替自变量，以此获取函数解析式。例题：

经过观察和分析之后，我们可以把右端式子转为“x+1”表达式子，这样的解答方式需要有一定的观察能力。

3 结束语

函数是高中数学中最重要的构成知识，我们在对函数问题进行解答时，必须要先对函数相关的概念和要素进行了解。在对这些基础知识进行掌握之后，就可以依据实际问题的具体情况进行解答，使用定义法或者是配凑法的方式对相关函数问题进行正确解析。

[1]代欢.高中数学函数最值问题的几种求解方法[J].理科考试研究:高中版,2017, 24(1):8-11.

[2]杨南.高中数学求函数解析式的几种基本方法[J].数理化解题研究, 2012(9):13-13.