基于SEM算法的零一膨胀二项回归模型的研究*

吕敏红 李 华 李文胜

（西安航空学院理学院 西安 710077）

1 引言

计数数据广泛存在于心理学、生物学、金融保险以及风险控制等领域，拟合计数数据的单用分布主要有泊松分布、二项分布等。但是在很多实际问题中零观测的比例远超过了拟合分布的允许范围。例如在医学研究中，室性早搏在用药后的PVC观测数据中，0出现的次数异常高，这样就使得室性早搏患者数的离差偏大。对于这些离差偏大的数据，运用单分布的结果往往不尽人意，所以我们便会考虑适合这类计数数据的零膨胀回归模型。自从Lambert提出了零膨胀Poisson回归模型［1］以来，关于具有零膨胀特征的计数数据已经有了多方面的研究，Greene（1994）在Lambert的思想下提出了零膨胀的可加性负二项回归模型［2］，Lee对零膨胀泊松回归模型的检验问题进行了深入的研究［3］；Xie系统研究了广义的Poisson混合效应模型的统计诊断问题［4］；Ghosh研究了零膨胀回归的贝叶斯方法［5］；陈异等关于零膨胀模型的实际应用做了研究［6～7］。

可是在一些实际问题时，我们遇到的数据集不仅在零点处膨胀而且在一点处也膨胀，例如Melkersson在对一组看牙医次数的数据进行研究时发现0和1出现的次数过高，这时如果还用零膨胀回归模型来做模拟，就会发现拟合的效果很不理想。为了考虑这类数据，Melkersson和Olsson首次提出了零一膨胀泊松分布［8］，之后Guo-liang Tian等对零一膨胀泊松分布的性质进行了研究［9］。本文对零一膨胀二项回归模型建立了参数的极大似然估计，然后提出了SEM算法对传统的EM算法进行修正，避免了EM算法只能使得估计收敛到局部极大值这个缺陷，使得模型能够找到全局最优解。最后通过模拟研究说明该方法的有效性。

2 零一膨胀二项回归模型

零一膨胀模型是处理零点与一点过多的计数模型，计数数据中取值为0与1的部分与取值服从某些离散分布的部分是各按一定比例进行混合，具体形式如下：

其中φ0，φ1分别表示数据中过多的0和1所占总体数据的比例，0≤φk＜1，k=0，1，f(y)表示某种离散的分布，如泊松分布、二项分布、负二项分布等。φ2表示来自某种离散的分布的数据占总体数据的比例，显然φ0+φ1+φ2=1。可以看出零一膨胀数据中的0来自两部分，第一部分的0和第三部分离散分布中的0，数据集中的1也是同样的道理。

若式（1）中的离散分布 f(y)为二项分布P(y=k)=Cmkpk(1-p)m-k时，我们便得到了零一膨胀二项分布［10］，具体形式如下：

其中0来自非二项分布中的零和二项分布中的零，1也是同样的道理，若φ0=0，φ1＞0，表示数据存在1膨胀的现象；若 φ1=0，φ0＞0，则表示数据只存在零膨胀；若φ1=0且φ0=0，此时表示数据服从标准的二项分布，不存在0和1过多的现象。下面我们对零一膨胀模型的参数部分引入协变量，模型形式为

其中γk表示回归系数，Z表示引入的协变量，这样我们便得到了零一膨胀泊松回归模型（ZOIB）的具体形式如下：

其中X与Z是协变量，β 和 γ0，γ1是回归系数，记θ=(βT，，)T，下面我们将用该模型来处理零一膨胀的数据。

3 参数的极大似然估计

本文受数据添加思想的启示［5］，首先引入潜在数据 Ym=(w1i，woi)，若 yi来自额外的1，记 w1i=1，否则 w1i=0。同样的若 yi来自额外的0，记woi=1，否则woi=0。这样就可以给出完全数据集Ycom=(Ym，Yo)，其中 Y0=(yi，Xi，Zi)为观测数据。若用 I(yi=0)，I(yi=1)，I(yi＞1)表示示性函数，基于完全数据的似然函数为

对式（4）两边取对数，进一步得到其对数似然函数为

通过式（5）可以看出，基于完全数据的对数似然函数关于添加的潜在变量是线性的，这就为我们后面的计算提供了方便。

4 EM算法改进

传统的EM算法只能使得估计收敛到局部极大值［11～15］。针对这个缺陷，下面提出了一种SEM算法对传统的EM算法进行修正，使得模型能够找到全局最优解。SEM算法为了避免估计值落入局部极值中，对EM算法增加了随机步，使得估计结果每次收敛到不同的极大似然估计值，为我们最后求得全局最优解提供了保证。具体算法包括三个步骤：

第一步（E步）：

计算Q函数：

第二步（S步）：

将观测数据集 Y0=(yi，Xi，Zi)划分成两个子集。划分规则是将每个观测随机的划分到两个子集中的任意一个中去。

第三步（M步）：

分别在两个观测样本子集上将Q函数极大化，而这可以通过条件极大化的方案实现，我们利用迭代方程得出：

重复S步及M步，利用式（8），直到算法收敛求出全局最优解。EM算法对于一个相同的初值会收敛到相同的估计值上，但是对于相同的初始值，EM算法每次却会收敛到不同的估计值上，这样就保证了改进后的算法能找到全局最优解。

5 模拟研究

为了说明本文方法的有效性，下面的模拟研究来对比EM算法和改进后的EM算法。我们考虑如下模型：

首先设定参数：β0=6，β1=1， γ00=5， γ01=2，γ10=3，γ01=1，然后从标准正态分布中产生200个随机数，协变量Xi的值由这些随机数产生，接着从零一膨胀二项回归模型（2）中产生200个随机数yi。

具体的模拟过程中，我们在M步中规定迭代次数以确保算法收敛，由于EM算法的估计值会受到初始值的影响，所以本文随机给定一组初始值β0=2，β1=2，γ00=2，γ01=2，γ10=2，γ01=2 作为代表（I），然后再用真值作为初始值作为代表（II），EM和SEM算法结果见下表。

表1 两种算法下的参数的极大似然估计

从表中可以看出，不管用哪种算法，用真值作为初始值是优于其他值作为初始值的估计，这和现实是相符的。在（I）这种情况下，改进后的EM算法（SEM）明显优于经典EM算法；而在（II）这种情况下，若用真值作为初始值SEM算法是略优于经典EM算法；但是在实际生活中，对于参数的真值预先并不知道，所以现实中对模型参数进行估时，SEM算法比经典EM算法更有效。

6 结语

本文首先对零一膨胀二项回归模型模型建立了参数的极大似然估计，然后针对传统的EM算法只能使得估计收敛到局部极大值这个缺陷，提出了一种随机EM算法对传统的EM算法进行修正，使得模型能够找到全局最优解。最后通过一个模拟研究说明了该方法的有效性。但是在实际中，随机效应和随机误差可能不是正态分布，若对其做正态假设可能会导致无效的统计结论，这就有待我们进一步的研究。