一道复变函数习题的推广

汤 获，王晓英

（赤峰学院 数学与统计学院，内蒙古 赤峰 024000）

钟玉泉[1]主编的《复变函数论》（第四版，2013年8月出版）课本中有这样一道习题（见第45页；第一章习题（二）中第12题，以下简称习题A）：

习题A设z为复数，试证＜1，并说明其几何意义.

首先，我们用两种方法来证明此习题.

证法1因为

令z=x+iy，故上式等价于

证毕.

证法2由于

故（1）式等价于

下面，我们给出其几何意义. 实际上，从此题的证明过程我们即可看出其几何意义：右半平面上任一点到（1,0）的距离小于该点到（-1,0）的距离，或者说，到（1,0）的距离小于到（-1,0）的距离的点一定在右半平面上.

那么，我们自然要问，能否将问题A推广到左半平面、上半平面和下半平面中来考虑呢？另外，习题A中的复数z能否换成复函数f(z)呢？这就是我们接下来要讨论的问题.

由习题A，我们容易得到如下结论：

推广1设z为复数，则

证明（i）-（iii）的证明过程与习题A相似，这里我们略去.并且，类似于习题A，我们易得（i）-（iii）的几何意义(a)-(c)：

（a）左半平面上任一点到（1,0）的距离大于该点到（-1,0）的距离或者到（1,0）的距离大于到（-1,0）的距离的点一定在左半平面上.

（b）上半平面上任一点到（0,1）的距离小于该点到（0,-1）的距离或者到（0,1）的距离大于到（0,-1）的距离的点一定在上半平面上.

（c）下半平面上任一点到（0,1）的距离大于该点到（0,-1）的距离或者到（0,1）的距离大于到（0,-1）的距离的点一定在下半平面上.

推广2设f(z)为复函数，则Ref(z)＞0⇔

证法1因为

令 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其中 u(x,y)，v(x,y)为二元实函数.为方便起见，我们以下简记f(z)=u(x,y)+iv(x,y)为f(z)=u+iv.

于是，（3）式等价于

证毕.

证法2由于

而

则（4）式等价于

类似地，我们有

推广3设f(z)为复函数，则有

注 若取f(z)=z，则推广2和推广3分别退化为问题A和推广1.