一类和号内含有未知函数差分的二重和差分不等式中未知函数的估计

黄星寿， 王五生， 罗日才

(河池学院 数学与统计学院， 广西 宜州 546300)

研究发现, Gronwall-Bellman 型积分不等式[1-2]及其推广形式是研究微分方程、 积分方程和微分-积分方程解的存在性、 有界性和唯一性等定性性质的重要工具, 人们不断地研究它的各种推广形式[3-8], 使其应用范围不断地扩大. 由于积分号内包含未知函数及其导函数的积分不等式在研究微分-积分方程中具有重要作用, Pachpatte 在他的专著[9]中研究了下面的积分号内含有未知函数及其导函数的线性积分不等式

t∈R+,(1)

和

同时, 随着积分不等式理论及差分方程理论的发展, 不少学者更关注 Gronwall-Bellman型不等式的离散形式及其推广形式[9-15]. Pachpatte 在他的专著[16]中研究了以下和号内含有未知函数差分的线性和差分不等式

N0,(3)

Akin-bohner等[17]在此基础上进一步研究了时标上的线性积分不等式

Zareen[18]更进一步研究了积分号内含有未知函数及其导函数的非线性积分不等式

R+.(9)

本文作者受文献[16-18]的启发, 研究了和号外具有非常数因子, 且和号内含有未知函数及其差分的非线性二重和差分不等式

Δu(t)≤w(t)+

t∈[t0,∞).(10)

不等式(1)把文献[16]中的不等式(5)推广成非线性和差分不等式, 把文献[18]中的不等式(9)推广成和号外具有非常数因子的和差分不等式. 本文综合利用分析技巧给出了不等式(10)中未知函数的估计. 最后, 通过例子说明了本文结果可以用来研究相应类型的和差分方程解的性质.

1 主要结果与证明

引理1 假设函数a(t),b(t),c(t)都是定义在非负整数集合N上的非负已知函数, 且函数a(t)是N上的增函数, 未知函数u(t)满足不等式

t∈N.(11)

t∈N.(12)

证明对于任意非负实数T∈N, 由不等式(11)可以看出

t∈N∩[0,T].(13)

把不等式(13)右端定义成函数v(t), 即

t∈N∩[0,T].(14)

由式(14)可以看出

u(t)≤v(t),v(0)=a(T),t∈N∩[0,T].(15)

求函数v(t)的差分得

Δv(t)=b(t)u(t)+c(t)u2(t)≤

b(t)v(t)+c(t)v2(t),t∈N∩[0,T].(16)

不等式(16)两边同除以v(t)得到

N∩[0,T].(17)

另外, 由微分中值定理知道， 存在ξ∈[v(t),v(t+1)], 有

综合(17)和(18)推出

lnv(t+1)-lnv(t)≤b(t)+c(t)v(t),

t∈N+∩[0,N].(19)

把不等式(19)中的t改写成s, 然后两边对于s从0到t-1求和, 得到

t∈N+∩[0,N].(20)

再把不等式(20)的右端定义为函数w(t), 即

t∈N∩[0,T].(21)

由式(20)可以看出，w(t)是非负连续增函数, 且

(22)

综合式(20)和(21)得

v(t)≤ew(t),t∈N∩[0,T].(23)

求函数w(t)的差分得到

Δw(t)=c(t)v(t)≤c(t)ew(t),t∈N∩[0,T].(24)

不等式(24)两边同乘以-e-w(t)得到

-e-w(t)Δw(t)≥-c(t),t∈N∩[0,T].(25)

类似于式(17)～式(20)的证明过程, 由不等式(25)可以推出

N∩[0,T].(26)

由式(15), (22), (23)和(26)推出

u(t)≤v(t)≤exp(w(t))≤

t∈N∩[0,T].(27)

在式(27)中令t=T, 得到

u(T)≤

由于T的任意性, 式(28)可以写成

u(t)≤

t∈N.(29)

这就是所求的估计式.

定理1 假设w(t),p(t),a(t),c(t),d(t)都是定义在N上的非负已知函数,u(t)和Δu(t)是定义在N上的满足不等式(10)的未知函数,u(0)>0. 若

成立. 则有不等式 (10) 中未知函数u(t)的估计式

[p(s)+a(s)+a(s)p(s)]R(s),t∈N,(31)

其中

(32)

A(t)∶=w(t)(1+a(t))+c(t)w2(t)+d(t),(33)

B(t)∶=p(t)+a(t)+a(t)p(t)+c(t)w(t)+2c(t)w(t)p(t),(34)

C(t)∶=c(t)p(t)+c(t)p2(t).(35)

证明为了对不等式(10) 中未知函数u(t)进行估计, 先把不等式(10)中的一部分定义成函数z(t)为

z(t)∶=w(t)+

t∈[t0,∞).(36)

由式(10)和式(36)可以看出

z(0)=u(0),u(t)≤z(t),

Δu(t)≤w(t)+p(t)z(t),t∈N.(37)

先求函数z(t)的差分, 利用式(37)推出

w(t)+p(t)z(t)+a(t)[z(t)+w(t)+p(t)z(t)]+

c(s)w(s)+2c(s)w(s)p(s)z(s)+c(s)p(s)+c(s)p2(s)z2(s),t∈N.(38)

再定义函数r(t)为

r(t)∶=z(t)+

t∈N.(39)

由式(39)可以看出

r(0)=z(0),z(t)≤r(t),t∈N.(40)

综合式(38)～式(40)推出

Δz(t)≤w(t)(1+a(t))+[p(t)+a(t)+a(t)p(t)]z(t)+a(t)[r(t)-z(t)]=

w(t)(1+a(t))+[p(t)+a(t)p(t)]z(t)+a(t)r(t)≤w(t)(1+a(t))+

[p(t)+a(t)+a(t)p(t)]r(t),t∈N.(41)

求函数r(t)的差分得

Δr(t)=Δz(t)+c(t)w2(t)+d(t)+c(t)w(t)+2c(t)w(t)p(t)z(t)+

c(t)p(t)+c(t)p2(t)z2(t)≤w(t)(1+a(t))+[p(t)+a(t)+a(t)p(t)]r(t)+

c(t)w2(t)+d(t)+c(t)w(t)+2c(t)w(t)p(t)r(t)+c(t)p(t)+c(t)p2(t)r2(t)≤

w(t)(1+a(t))+c(t)w2(t)+d(t)+[p(t)+a(t)+a(t)p(t)+c(t)w(t)+2c(t)w(t)p(t)]r(t)+

c(t)p(t)+c(t)p2(t)r2(t)=A(t)+B(t)r(t)+C(t)r2(t),t∈N,(42)

式中：A(t),B(t),C(t)由定理中式(33)～式(35)定义.先把不等式(42)中的t改写成s, 然后两边关于s从t0到t求和, 得到

因为式(43)具有引理1中不等式(11)的形式, 且满足引理1中的条件, 利用引理1即可得到不等式(43)中r的估计

N.(44)

利用式(37)和式(40)， 式(44)可写成

N,(45)

其中,R(t)由式(32)定义. 把式(45)代入式(41)得

Δz(t)≤w(t)(1+a(t))+

[p(t)+a(t)+a(t)p(t)]R(t),t∈N.(46)

由式(46)进一步得到

[p(s)+a(s)+a(s)p(s)]R(s),t∈N.(47)

把z(0)=u(0)代入式(47)得到

[p(s)+a(s)+a(s)p(s)]R(s),t∈N.(48)

利用式(37)中的关系式u(t)≤z(t)， 由式(48)得到定理所要求的不等式(10)未知函数u(t)的估计式(31).

2 应 用

本文结果可以用来研究相应类型的和差分方程解的性质. 现在考虑和差分方程

Δx(t)=w(t)+

推论1 假设方程(49)中|c|是正常数，w(t),p(t)和定理1中w(t),p(t)的定义相同.H∈C(N×R×R,R)满足下列条件

|H(t,x,Δx)|≤a(t)[|x(t)|+|Δx(t)|]+

|x(s)|)+d(s)],(50)

a(t),c(t),d(t) 在定理1中的定义相同. 假设|c|,w(t),p(t),a(t),c(t),d(t)满足

如果x(t)是方程(49)的解, 那么有方程解的模的估计式

其中

A(t),B(t),C(t)在定理1中的式(33)～式(35)中定义.

证明利用条件(50), 由方程(49)推出

由于式(52)具有不等式(10) 的形式, 且满足定理1中的相应条件, 利用定理1就可以得到所求的方程解的模的估计式(51).