聚焦圆与方程问题

■贾善振 杨春青 班大菊

圆的方程的求法以及直线与圆的位置关系是圆与方程问题学习的重点,也是高考的热点。下面举例分析。

一、求圆的方程

例1已知△ABC的顶点A(0,1),AB边上的中线CD所在的直线方程为2x-2y-1=0,AC边上的高BH所在的直线方程为y=0。

(1)求△ABC的顶点B,C的坐标。

(2)若圆M经过不同的三点A,B,P(m,0),且斜率为1的直线与圆M相切于点P,求圆M的方程。

解：(1)因为AC边上的高BH所在的直线方程为y=0,所以直线AC的方程为x=0。又直线CD的方程为2x-2y-1=0,所以由此解得点C的坐标为,则AB的中点),代入方程2x-2y-1=0,解得b=2,所以点B(2,0)。

(2)由点A(0,1),B(2,0),可得圆M的弦AB的中垂线方程为4x-2y-3=0,注意到BP也是圆M的弦,所以圆心在直线x=上。设圆心M的坐标为,因为圆心M在直线4x-2y-3=0 上,所以2m-2n+1=0。因为斜率为1 的直线与圆M相切于点P,所以kMP= -1,由此可得m-2n-2=0。 由上解得,m= -3,n=。所以圆心M,半径MA=。故所求圆M的方程为x2+y2+x+5y-6=0。

方法点拨：求圆的方程主要有两种方法:几何法和待定系数法。

二、直线与圆的位置关系

例2已知圆C1:x2+(y+2)2=4与圆C2:(x-4)2+y2=4。

(1)若直线mx-y+(m-1)=0(m∈R) 与圆C1相交于A,B两个不同的点,求|AB|的最小值。

(2)直线x=3 上是否存在点P,满足经过点P有无数对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,并且直线l1被圆C1所截得的弦长等于直线l2被圆C2所截得的弦长? 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。

解：(1)直线mx-y+(m-1)=0(m∈R)过定点M(-1,-1)。

当|AB|取最小值时,AB⊥C1M,可得|C1M|== 2。故|AB|min=

(2)设点P(3,a)。当斜率不存在时,显然不符合题意。当斜率存在时,l1:y=k(x-3)+a,即为kx-y+a-3k=0,l2:y=(x-3)+a,即为x+ky-ak-3=0,所以由题意可知,d1=d2,所以可得(9-a2)k2-(12+4a)k+a2+4a+3=0对任意实数k成立,所以解得a=-3。

故存在点P(3,-3),满足题意。

方法点拨：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定的。也可以将问题转化为代数或三角问题,证明是恒定的。