探究式教学在高中数列应用课堂中的实践探索

□吴浚含

基于对高中数列应用难点和重点内容的高度重视，我们需要尽可能找到更加适合高中数列应用课堂教学的方法，由此促使学生更好地掌握与吸收相关知识。本文主要阐明探究式教学在高中数列求和课堂中的运用价值与实践意义。

一、明确数列应用在高中数学课堂教学中的重要地位

随着时代不断发展，数学教育也在不断开拓创新，为了使数学更好地与时代相融合，现代数学教学不断提倡创新、提倡探索，鼓励学生独立思考、发掘真相，由此提出探究式教学。高中数学课堂中的探究式教学就是要求教师在高中数学课堂教学中只给学生提供事例或问题，需要教师不断地进行引导，让学生自己去发现、观察、思考，最后获取问题解决的过程。在高中数学课堂中，教学重点和难点之一是数列求和等应用问题，学生很难将所学相关知识活学活用，而通过探究式教学则可以更好地解决上述问题。

二、高中数学课堂教学中的数列应用分析

现实生活中很多问题的解决都会用到数列知识，可是学生不一定能够发现其中的数列规律，教师如何引导学生发现实际生活中蕴含的数列问题呢？举个例子，四名同学一起踢足球，A 同学发球，A将足球发出去为第一次传球，A 同学可以将足球踢给B 同学、C 同学、D 同学三人中的任意一个，其他人也是如此，以此类推。问题：足球第十次被踢出时，踢到A同学脚下的球数。很多同学遇到这个题目时，往往摸不到头脑，不知从何下手——这就要求老师给予指导与启发，若运用探究式教学方法，面对上述问题，又该如何呢？首先，帮助学生认真审题，充分理解题意，球每次被踢出都存在三种可能性；然后逐步引导，记踢n 次回到A 同学脚下的种数为an，让学生自己思考，在上述十次传球中，足球到A 同学脚下最可能有几次，因为第一次是由A同学发球，足球不能传给自己，所以足球在十次踢球过程中，除了第十次定要踢给A 同学外，其余九次都是随机的，若单纯用数的方法怕难得到答案，容易出错且浪费时间。学生用最普通的方法遇到困难，此时是教师引导运用数列解决问题的最佳时机：已知足球不能传给自己，每次传球有三个随机选择，概率为1/3；当学生由教师的引导推到这一步时，善于思考的学生应当想到可以运用数列知识来解决，由上述分析引导学生推出公式an=2an-1+3an-2，化简得an+an-1=3（an-1+an-2）——这是隐藏的数列问题，其中的数列规律不易被发现，很多同学在做这类题目时容易误入歧途，所以教师平时训练学生时应该多加这类题目，让学生学会分析题型、寻找思路，能够提取题目中的隐藏条件，由此以最快速度找到正确的解题方法。为了培养学生的上述能力，可以从简单日常生活实例开始，举一些较简单的例子。比如，出租车打表，起步价为7 元，每走一公里跳表一次，增加6 元，以此类推，便形成简单的等差数列7、13、19、25、31、37……问题：十公里路程该付多少车费？再比如，一名同学登山时一步并作两步走，一次迈两级台阶，假设一级台阶的高度为30 厘米，这名同学走50步，可以到达多少海拔高度？教师可以从类似上述简单问题开始训练学生，让学生准确感受数学的现实意义，由此促使学生对数学产生兴趣、乐于思考、形成数学思维，然后逐渐加大难度——上述做法符合高中数学课堂教学中的螺旋上升原则。

数列知识是高中数学课堂教学中的难点与重点，且在高考中占有大量分值，它的运用还与理科数学中排列组合存在联系，因此要求教师不仅在新授课中使用探究式教学，而且在复习课或总结知识以及运用知识时亦可选择探究式教学，从而促使学生自己思考，把知识变成自己的东西，由“听明白”变成“学明白”。

除了数列实际应用中使用探究式教学法，可以起到事半功倍的效果，在普通数列练习中教师亦可运用探究式教学法来引导学生，比如列项相消、分组求和法、错位相减法等常用数列求和方法，都属于数列知识教学中的难点与重点，不过在实际习题过程中，很多学生面对较复杂数列时，并不能发现可以运用裂像相消法、错位相减法或分组求和法。

举例：已知等差数列 {an}，首项为a，公差为d，n 为正整数，且不等式ax2-3x+2＜0 的解集为（1，d）。

（1）求数列 {an} 的通项公式an。

（2）若bn=3an+an-1,n 为正整数，求数列{bn} 的前n 项和Tn。

思路分析：（1）由不等式ax2-3x+2＜0 的解集为（1,d），可知d，1 是方程ax2-2x+1=0 的两根，由根与系数的关系可列出方程组，求出a 和d 的值，从而得数列{an}的通项公式。

（2）利用（1）的结果，表示出bn，然后运用分组求和法，可得结果。

解题：（1）易知a≠0，根据题意可以知道，1+d=2/a 与1⊙d=1/a.解得：a=1，d=1。所以，{an} 的通项公式为an=1+（n-1）⊙1=n。

（2）根据（1）我们可以知道bn=3n+n-1，则Tn=3+(32+1) +…+（3n+n-1）=31+32+…+3n，则可以运用分组求和法，将其中的3，32，33，34…3n先提出来——这明显是等比数列。运用等比数列求和公式，设这部分的和为Tn1=-31（1-3n）/2，然后再将后面一部分求和，后面明显是d 为1 的等差数列，首相为0。则设剩下部分的和为Tn2=0+（n-1）⊙1=n-1，最后将两者相加，得到Tn=-31（1-3n）/2+n-1。

在很多情况下，当等差数列通过系列变换变成另一复杂数列之后，教师要引导学生主动探究，发现新数列的特征和规律，引导学生用简单、省时的方法来解决问题。教师要让学生首先跳出固有思维，不再从数列整体去寻找规律，而是学会将数列分成几个部分，分别求和、然后相加，用灵活方法来求解，并让学生多做练习，让学生熟练地掌握裂项相消法、错位相减法和分组求和法等基本的数列求和方法。

三、探究式教学在高中数列应用课堂中的实际生成

高中数列应用课堂实行探究式教学时，就算教师之前把课备足、备充分，实际生成中也难免会出现诸多预料不到的情况，因为学生是独立的个体。教师讲授新知识时，学生出于好奇或个人思考，难免会提出诸多问题。面对上述情形，若教师给予解答，难免耽误时间，影响教学进度，但若不予解答，可能打击学生自尊心，甚至有些同学可能一直在心里思考上述疑问，而不能集中精力聆听教师讲解后面知识内容，影响学习成效，所以如何处理实际生成也是一门学问——可以考察教师的教育机制。怎样做才能既可消除学生疑问，又可保证教学进度不受影响？比如，学习等差数列求和公式推导过程中，学生往往会产生系列问题链：为什么要对和式分组配对；为什么要“倒序相加”；为什么“倒序相加”能够转化为相同数求和等。在讲授新课过程中，学生可能会提出类似上述问题，虽然都非常简单，但对初学者而言并不见得好理解，所以上课之前教师要尽可能把所有的知识包括细节点理清，只要学生提出的问题与本节知识相关，都能帮助学生解释清楚，并且言简意赅、条理清晰、符合逻辑。

高考最容易在数列知识中出难题，且题型多，因此高中数列应用课堂教学不适合使用题海战术，探究式教学应是最适合的方法：引导学生做道题，让学生自己“悟”，好过机械训练十道题，即授之以鱼不如授之以渔——这部分内容的教学应该重在方法，学生掌握了方法，就会少走许多弯路；高考中无论怎么出题，学生由此都能找到突破口。由上可见，探究式教学是高中数列应用课堂中教师应该采用的正确方法。