借助分数实际问题促进学生思维发展

四川省巴中市恩阳第一小学 钟立新

思维是智力的核心，加强学生思维训练，发展学生的数学思维能力，是数学教学的重要任务。作为数学教师，应持之以恒地在课堂教学活动中，引导学生开展多种形式的思维训练。在小学高年级分数、百分数实际问题教学中，应该重视并加强以下几种思维训练，以实现不同学生的数学思维能力得到不同发展。

一、等量思维训练

寻找分数、百分数实际问题中数量间的等量关系，运用方程解决一些分数实际问题，已是普遍的解题思路，也顺应中学的数学教学。因此，必须让学生学会抓分数实际问题中数量间的等量关系。例如：某厂第一车间的人数比第二车间的5/8多21人，如果从第二车间调36人到第一车间，则第一车间的人数与第二车间人数相等，原来两个车间各有多少人？

【分析与解】

这一数学问题用别的方法解决，难度较大。如果从方程这个角度来思考，就比较容易。从题中可知：第一车间的人数相当于第二车间的5/8+21人。即：第二车间人数-36人=第一车间的人数+36人。

解：设第二车间原来有x人，根据题意，得：

x-36=5/8x+21+36

化简为 3/8x=93

x=248

经检验x=248是原方程的解

则 第一车间原有248×（5/8）+21=176（人）生数是乙校学生数的42%，那么两校女生数占两校学生总数的百分之几？

【分析与解】

此题的条件较抽象，不利于思考解答。若设乙校有学生人数800人（也可为其他数），则甲校学生人数为800×40%=320（人），女生人数为320×30%=96（人）；乙校女生人数为800×（1-42%）=464（人）；那么两校女生人数占两校总人数的（96+464）÷（800+320）=50%。

二、假设思维训练

有时根据解决数学实际问题的需要，先假设题目中的某一个条件为具体数值（假设的数据要便于计算）或简单实例，便能从中发现解题规律，使问题化难为易。例如：已知甲校学生数是乙校学生数的40%，甲校女生数是甲校学生数的30%，乙校男

三、转化思维训练

有些数学问题在不改变原题意的前提下，变个形式或换一种说法，就会使条件和问题变得明朗，有利于帮助学生理解和分析题中的数量关系，达到顺利解决数学问题之目的。例如：一捆电线，第一次用去10米；第二次用去余下的1/2；第三次全部用完，正好比原长的1/3多5米。这捆电线原来有多少米？

【分析与解】

此题中的1/2和1/3两个分率，它们的单位“l”不同，解题显得十分困难。为突破这一难点，如果把“用去余下的1/2”转换成“用去原长的1/3多5米”（根据题意：第二次用去余下的1/2，第三次全部用完”可知：第二次与第三次用去的是相等的），那么这题的解答也就变容易了。这捆电线原来长（10+5+5）÷（1-1/3-1/3）=60（米）

又如：枫叶服装厂接到生产2400件衬衫的任务，前3天完成了40% 。照这样计算，完成这项生产任务一共要用多少天？

【分析与解】

如果我们把完成2400件衬衫这项生产任务所需要的总天数看作单位“1”，“前3天完成了40%”，换句话也就是说“完成这项生产任务所需要总天数的40%是3天”，根据分数除法的意义，要求完成这项生产任务一共需用多少天？可以直接列式为：3÷40%=7.5（天）

四、联想思维训练

联想是由此时获取的信息想到别的相关信息。在数学教学中，要教会学生联想，以拓宽学生的解题思路，沟通知识之间的联系，逐渐把知识转化为能力。例如：某中学有男生240人，女生人数相当于男生的7/8。这个中学共有学生多少人？

【分析与解】

由“女生人数相当于男生的7/8”，可以联想到以下数量关系：①男生人数是女生的8/7。 ②女生人数比男生少1/8。③男生人数比女生多1/7。 ④女生人数是7份，男生是8份，全校共15份。⑤女生人数占全校学生数的7/15（或男生人数占全校学生数的8/15）。⑥女生人数与男生的比是7：8（或男生人数与女生的比是 8：7）。

依据原题和联想的这些数量关系，此题便有多种解法。

解法一：240×（1+7/8）=450（人）

解法二：240÷8/7+240=450（人）

解法三：240×（1-1/8）+240=450（人）

解法四：240÷（1+1/7）+240=450（人）

解法五：（240÷8）×15=450（人）

解法六：240÷（1-7/15）=450（人） [或 240÷8/15=450（人）]

解法七：设女生人数为x人。则 x：240=7：8 x=240×7÷8

全校学生数 =240×7÷8＋240=450（人）

……

五、逆向思维训练

顺向思维与逆向思维是思维方法的两种相反形式。一般来说，学生顺着题意去思维难度小，而从条件结尾处入手，倒推而上，去逆向思维不太适应。对此，我们可选择一些实际问题对学生进行逆向思维训练。例如：一个卖桃人，第一次卖掉他所有桃子的1/2，第二次卖掉了5个，第三次卖了他剩下的一半，第四次卖去13个，第五次买了剩下的50%，这时还剩下18个桃子。卖桃人原来一共有多少个桃子？

【分析与解】

这道题中出现了三个不同的单位“1”。第一次是把卖桃人所有的桃子看作单位“1”；第三次是把第二次卖后剩下的桃子看作单位“1”；第五次是把第四次卖后剩下的桃子看作单位“1”。如果顺着题目所给的条件去分析，则很难求解。这时，我们便可从“还剩下18个桃子”处入手，向前逆推而上，问题就好解决了。先求第四次卖后剩下的桃子数：18÷（1-50%）=36（个）；又求第三次卖后剩下的桃子数：36+13=49（个）；再求第二次卖后剩下的桃子数：49÷（1-1/2）=98（个）；然后求第一次卖后剩下的桃子数：98+5=103（个）；最后求一共有多少个桃子：103÷（1-1/2）=206（个）

列综合算式：

{[18÷（1-50%）+13] ÷（1-1/2）+5}÷（1-1/2）=206（个）。

六、定量思维训练

有些分数实际问题中，一个数量的变化，往往引起其他数量的变化。只要仔细分析，总存在着不变量，我们就以此作为解题的突破口。

1.总量不变

例如：明德学校数学教师人数是语文教师人数的4/7，今年有6位语文教师改教数学，那么语文教师是数学教师人数的5/6。原来语文、数学教师各有多少人？

【分析与解】

由于“今年有6位语文教师改教数学”，那么，语文教师人数就发生变化，同时数学教师人数也随着发生了变化。但语文、数学教师的总人数始终没有变，我们就以语、数教师总人数不变为突破口。把语文、数学教师的总人数看作单位“1”，先弄清数学教师变化前、后人数分别占语文、数学教师的总人数的几分之几？求出语文、数学教师的总人数，再求出语文、数学教师各有多少人？

根据“数学教师人数是语文教师人数的4/7”，可知数学教师占语文、数学教师总人数的4/11；由于有6位语文教师改教数学后“语文教师是数学教师人数的5/6”，可知数学教师人数占语文、数学教师总人数的6/11。因此，语文、数学教师总人数为6÷（6/11-4/11）=33（人）。再根据“原来数学教师人数是语文教师人数的4/7”，将语文、数学教师总人数按4：7进行分配，求出原有的数学教师33×4/11=12（人）、原有的语文教师33×7/11=21（人）。

列综合算式：

原有的数学教师：6÷（6/11-4/11）×4/11=12（人）

原有的语文教师：6÷（6/11-4/11）×7/11=21（人）

2.部分量不变

例如：某粮店运进面粉和大米共480千克，其中面粉占总数的1/4，后来又运进一些面粉，这时面粉占总数的5/14，粮店现有面粉和大米共多少千克？

【分析与解】

题中面粉数量发生了变化，面粉和大米的总重量也就发生了变化；但仔细分析，大米的重量始终没有变，它是一个不变量。因此，先求出大米的重量 480×（1-1/4）=360（千克），占现有面粉和大米总重量的（1-5/14），所以现有面粉和大米共重360÷（1-5/14）=560（千克）。

列综合算式：480×（1-1/4）÷（1-5/14）=560（千克）

3.差不变

例如：有两根绳子，一根长10米，另一根长15米，把两根绳子都剪下同样长的一段后，短绳子剩下的长度是长绳子剩下长度的4/9。剪下的一段有多少米？

【分析与解】

两根绳子剪前与剪后的长差没有变，即两根绳子长度差为：15-10=5（米）,它相当于长绳子剩下长度的（1-4/9）。

解：①长绳子剪下后剩下的长度为：

（15-10）÷（1-4/9）=9（米）

15两根绳子剪下同样长的一段为：

15-9=6（米）

七、发散思维训练

教学中注重发散思维的训练，可以使学生的解题思路开阔，妙法顿生。一题多解便是训练发散思维的好素材，通过一题多解，引导学生就不同的角度、不同的方位分析、思考同一问题，有助于帮助学生理解应用题的结构，熟习数量间的关系，对达到触类旁通，举一反三之目的，将产生十分积极的作用。例如：生产小组加工一批零件，原计划用14天，平均每天加工1500个零件。实际每天加工的零件比原计划每天加工的多2/5。实际用了多少天就完成了加工任务？

【分析与解】

1.按一般应用题解

解法一：先求出实际每天加工的零件数，再求出这批零件的总数，然后求实际用了多少天？

1500×14÷[1500×（1+2/5）]=10（天）

解法二：先求出实际每天加工多少个零件，再求出实际每天加工的零件数是原计划每天加工零件数的多少倍，最后求出即使用了多少天？

14÷[1500 ×（1+2/5）÷1500]=10（天）

解法三：先求实际每天比计划每天多加工的零件数，再求14天多加工的零件数，然后求出实际提前的天数，最后求实际用了多少天？

14-1500×2/5×14÷[1500 ×（1+2/5）]=10（天）

2.按工程问题去解

把要加工的这批零件看作单位“1”，原计划用14天，则原计划每天加工这批零件的1/14，实际每天加工的就是1/14×（1+2/5）。这样思考列式时就撇开了“1500个零件”这个具体的量，使解法显得新颖、巧妙。

解法四：按解法一的思路，列式为1÷[1/14×（1+2/5）]=10（天）

解法五：按解法二的思路，列式为 14÷[1/14×（1+2/5）÷1/14]=10（天）

解法六：按解法三的思路，列式为 14-1/14×2/5×14÷[1/14×（1+2/5）]=10（天）

3.列方程解

解法七：根据实际加工的零件总数等于原计划加工的零件总数，设实际用了x天可完成加工任务，则1500×（1+2/5）× x=1500×14

x=10

解法八：把原计划加工的零件总数看作单位“1”，实际每天就加工1/14×（1+2/5），根据解法七的思路，设实际用了x天，则1/14×（1+2/5）x=1

x=10

解法九：依据实际提前的天数加上实际用的天数等于原计划用的天数。设实际提前x天完成加工任务，

x=4

14-4=10（天）

4.用正比例方法解

解法十：已知每天加工的零件个数一定，加工零件的总数和实际加工天数成正比例。设实际用了x天完成任务，

x=10

解法十一：把这批零件总数看作单位“1”，实际每天加工这批零件的1/14×（1+2/5），利用解法十的思路，设实际用了x天，

x=10

5.用反比例方法解

解法十二：已知加工零件总数一定，每天加工零件数和加工的天数成反比例。设实际用了x天完成任务，则 1500×14=1500×（1+2/5）x

x=10

6.用特殊方法去解

解法十三：把原计划每天完成的工作量看成“1”，则工作总量为1×14=14，再求实际用的天数，问题就得到解决了。即1×14÷（1+2/5）=10（天），从而找到了最简捷的解法。