三角恒等变换学法直通车

■王佩其

解三角函数问题往往离不开三角恒等变换，离开了三角恒等变换去解三角函数问题，可谓“天方夜谭”。那么三角恒等变换有哪些变换方法?主要涉及哪些题型?

三角恒等变换，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，其主要有三种变换方法：①找差异，即找角、名、形的差异；②建立联系，即建立角的和差关系、倍半关系，名形之间与公式的联系；③变公式，即公式的正用，逆用和变形应用。

三角恒等变换主要涉及三类问题：①三角函数的化简；②三角函数的求值；③三角恒等式的证明。下面分类举例分析。

一、给角求值问题

例1求值

解：原式

评注：对于非特殊角的三角函数的求值问题，一定要本着先整体后局部的原则，如果整体符合三角公式的形式，则整体变形，否则进行局部的变形。

二、给值求值问题

例2设α为锐角，若则的值为____。

解：因为α为锐角且，所以

评注：解答此类问题，一定要注意已知角与所求角之间的关系，恰当地运用拆角、拼角技巧，利用角的变换，达到求值的目的。

三、给值求角问题

例3已知，且求β的值。

解：由，且cos（α-β）=可得

于是可得cos 2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（αβ）=-1。

评注：已知三角函数值求角的解题步骤：①确定角的范围，根据条件确定所求角的范围；②求所求角的某种三角函数值，为防止增解最好选取在上述范围内单调的三角函数；③结合三角函数的值及角的范围求角。

四、三角恒等式的证明问题

例4已知sin（2α+β）=5 sinβ，求证：2 tan（α+β）=3 tanα。

证明：由2α+β=（α+β）+α，β=（α+β）-α，可得sin（2α+β）=5 sinβ⇒sin[（α+β）+α]=5 sin[（α+β）-α]⇒sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=5 sin（α+β）cosα-5 cos（α+β）sinα⇒2 sin（α+β）cosα=3 cos（α+β）·sinα⇒2 tan（α+β）=3 tanα。

故2 tan（α+β）=3 tanα成立。

评注：三角恒等式证明的常用方法：①执因索果法，即证明的形式一般为化繁为简；②左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；③拼凑法，即针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，化异求同。

五、高考中的三角恒等变换问题

例5已知

解：（1）f（x）=sinx+

评注：在高考中，这类问题重点考查三角恒等变换与公式的综合应用。解答本题的关键是利用三角恒等变换将函数f（x）化成y=Asin（ω x+φ）+B的形式。

例6已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos 2x。

（1）求函数f（x）的最小正周期。

（2）求函数f（x）在区间上的最大值和最小值。

解：（1）f（x）=sin2x+cos2x+2 sinx·cosx+cos2x=1+sin2x+cos2x=

故函数f（x）的最小正周期

由正弦函数y=sinx图像与性质可知：

故函数f（x）在上的最大值为最小值为0。

评注：在高考中，有关三角函数的图像与性质（如周期性，单调性，对称性，最值）问题，几乎年年都考，这类问题难度不大，但离不开三角恒等变换。