谈中国剩余问题的一次函数解法

孙静

剩余问题自古就是人们茶余饭后喜欢谈论的一类数学问题，在现行的中小学趣味性试题中也时常出现.在中国古代重要的数学著作《孙子算经》中，就有《物不知数》一章：今有物不知其数，三三数之，剩二;五五数之，剩三;七七数之，剩二.问物有几何？答曰：二十三.术曰：三三数之，剩二，则置一百四十;五五数之，剩三，则置六十三;七七数之，剩二，则置三十.并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得.凡三三数之剩一，则置七十;五五数之剩一，则置二十一;七七数之剩一，则置十五.一百（零）六以上，以一百（零）五减之，即得.

这就是著名的中国剩余定理（也称作孙子定理）中的一个典型问题的解法.孙子定理在世界数学史上有着广泛的影响.古今中外，有许多数学家从不同角度对这一定理进行过阐述.现代数论也已经对这类问题的解法给出了详尽的解释.

但是，这些解法与解释与现行九年义务教育教材严重脱节，常令许多中小学学生甚至部分中小学教师一头雾水，摸不着头脑.如何运用已有的知识，举一反三，最大限度地解決未知的问题，从而培养学生自主探索的能力，培养学生发散思维的能力，是我们中小学教学的一个重要环节.如何运用已有的知识解决人们日常生活中喜闻乐见、司空见惯的问题，是培养学生理论联系实际，活学活用，并从实际生活中获取学习乐趣的一个重要途径. 寓教于乐，“乐之”“好之”，是先圣孔子的一个重要教学思想.死记硬背一些现成的结论，而不去探究问题解决的思路、依据和过程，久而久之，必然会扼杀学生的学习兴趣，泯灭学生的创新创造活力，这极不利于学生好奇心的激发，极不利于学生科学素养的形成.在教学辅导中，我们尝试引导学生用下面的解法，取到了较好的效果.这种解法，完全基于现行九年义务教育教材中的一次函数，是一次函数的一个具体应用，道理简单，运算过程也并不复杂.即使是小学高年级的学生，加以适当引导，对于其中部分学习基础较好的，“跳一跳也能摘到桃子”.下面我们通过几个例子来说明这类问题的这种解法.

例1  今有物不知其数，五五数余四，九九数余三.问：这堆物体最少有几个？若已知这堆物体最多不超过100个，则可能有几种情况？