若干Hermite-Hadamard型不等式的改进

曾志红，时统业

(1.广东第二师范学院 学报编辑部，广东 广州 510303；2.海军指挥学院，江苏 南京 211800)

1 引言

若f是区间I上的凸函数，则对于任意a，b∈I，a

(1)

式(1)就是著名的Hermite-Hadamard不等式。对Hermite-Hadamard不等式的加细和推广以及利用导函数来估计由Hermite-Hadamard不等式生成的差值已有很多结果，比如文献[1-20]。

文献[9-10]通过考虑[a，b]上满足a≤x0)的4个点x，y，y′，x′，推广了文献[9]的结果。

设f是[a，b]上的可积函数，a≤x0，记

当λx+λ′x′=λy+λ′y′时，可将H(t)和P(t)分别化为文献[11]中的H1(t)和P1(t)。由文献[11]的引理1.2得

在f为[a，b]上可微的凸函数，且λx+λ′x′=λy+λ′y′的情况下，文献[11]利用不等式

给出了结果：

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

本文的定理1给出式(2)～(6)的改进。

引理1 设f是[a，b]上的可微函数，且f′在[a，b]上可积，a≤x

证明用分部积分法容易证明，这里略去过程。

引理2[11]设f是[a，b]上的凸函数，a≤u0，λu+λ′u′=λv+λ′v′，则有

λf(v)+λ′f(v′)≤λf(u)+λ′f(u′)。

2 主要结果

定理1 设f是[a，b]上可微的凸函数，a≤x0，则有

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

其中

故式(7)的右边得证。

对任意s∈[x,y]时，有

f(ts+(1-t)y)-f(y)≤f′(ts+(1-t)y)t(s-y)≤f′(x)t(s-y)，

对任意s∈[y′,x′]时，有

f(ts+(1-t)y′)-f(y′)≤f′(ts+(1-t)y′)t(s-y′)≤f′(x)t(s-y′)，

于是有

故式(8)的右边得证。

对任意s∈[x,y]时，有

f(tx+(1-t)s)-f(y)≤f′(tx+(1-t)s)(t(x-s)+s-y)≤f′(x)(t(x-s)+s-y)，

对任意s∈[y′,x′]时，有

f(tx′+(1-t)s)-f(y′)≤f′(tx′+(1-t)s)(t(x′-s)+s-y′)≤f′(x′)(t(x′-s)+s-y′)，

于是有

故式(9)的右边得证。

故式(10)的右边得证。

对任意s∈[x,y]时，有

f(tx+(1-t)s)-f(ts+(1-t)y)≤f′(tx+(1-t)s)(t(x-s)+(1-t)(s-y))≤

f′(x)(t(x-s)+(1-t)(s-y))，

对任意s∈[y′,x′]时，有

f(tx′+(1-t)s)-f(ts+(1-t)y′)≤f′(tx′+(1-t)s)(t(x′-s)+(1-t)(s-y′))≤

f′(x′)(t(x′-s)+(1-t)(s-y′))，

于是有

故式(11)的右边得证。

类似可证式(7)～(11)的左边。

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推论1 设f是[a，b]上可微的凸函数，a≤x0，λx+λ′x′=λy+λ′y′，则有

其中

定理2 设f是[a，b]上的可微函数，a≤x0，λx+λ′x′=λy+λ′y′，若|f′|是[a，b]上的凸函数，则有

(12)

(13)

(14)

(15)

证明由引理1及|f′|的凸性得

(16)

类似可证

(17)

利用式(16)和式(17)及引理2，得

类似可证式(13)～(15)。

推论2 设f是[a，b]上的可微函数，且f′在[a，b]上可积，a≤x

在推论2中若取t=1，则得到文献[7-8]的结果。