比例的性质在证明线段相等中的应用

张俊忠

【内容摘要】证明线段相等是初中几何常见的问题，利用比例的性质是解决此类问题的一种方法。通过比例的性质证明线段相等常常要利用平行线分线段成比例定理、三角形相似找过渡比，然后证明线段相等。

【关键词】比例的性质平行线的性质相似三角形

在初中几何的学习中，涉及到证明线段相等的问题是很多的。当然证明线段相等有许多方法，本文重点论述怎样利用比例的性质去证明线段相等。实际上利用比例的性质证明两条线段相等，主要分两种情况。现在设a、b、c、d表示四条线段：（1）要证明线段a=b，如果ac=bc ，那么就有a=b;（2）要证明线段a=b，如果ac=bd，且c=d，那么就有a=b。对于第一种情况，关键是要找线段c;对于第二种情况，关键是找相等的线段c和d。下面举例说明。

例1：如图1，在梯形ABCD中， AB∥CD，对角线AC、BD交于O，过点O作EF∥AB，分别交AD、BC于E、F，求证：OE=OF.

分析：要证明OE=OF，怎样找线段c，使得OEc=OFc呢？显然在此题中，c既可以取AB，也可以取CD。利用平行线分线段成比例定理及三角形中一边平行线的性质，就可以解决此问题。

证明：在 ΔDAB与 ΔCAB中

∵EF∥AB

∴OEAB=DEDA，OFAB=CFCB

∵CD∥AB∥EF

∴DEDA=CFCB

∴OEAB=OFAB

∴OE=OF

此题结论可以推广：如图2，在梯形ABCD中，  AB∥CD，E为AD上一点，过E作EF∥AB  分别交AC、BD、BC于G、H、F，求证：EG=FH.

例2：如图3，在RtΔABC 中，∠C=90°，在BC上任取一点D，连接AD，以BA为边向外作∠BAE=∠CAD，过点B作AB的垂线交AE于点E。再过点E作EF⊥CB，交CB的延长线于点F，求证：CD=BF.

分析：例1是根据平行线分线段成比例定理及三角形中一边平行线的性质，找出了成比例的线段。显然此题要根据三角形相似的性质去找成比例的线段。实际上能够观察出ΔACD∽ΔABE，ΔACB∽ΔBFE，于是可以得到CDAC=BEAB，BFAC=BEAB故可以推出CD=BF，证明略。

例3：如图4，AD、CF是ΔABC的两条高，在AB上截取AP=AD，过点P作PQ∥BC，交AC于Q，求证：PQ=CF.

分析：此题很难去找一条线段c，使得PQc=CFc，但是题目条件中有AP=AD，于是如果能够推出PQAP=CFAD，问题就可以解决。

证明：∵AD、CF是ΔABC的两条高

∴∠ADB=∠CFB=90°

又∵∠ABD=∠CBF

∴ΔFBC∽ΔDBA

∴CFAD=CBAB

又∵PQ∥BC

∴PQAP=CBAB

∴CFAD=PQAP

∵AP=AD

∴PQ=CF

例4：如圖5，以RtΔABC的两条直角边AB、AC为边，分别在形外作正方形ABDE、正方形ACGF，CD交AB于M，BG交AC于N，求证：AM=AN

分析：此题要通过三角形中一边的平行线的性质，找成比例的线段。

证明：∵四边形ABDE、四边形ACGF都是正方形

∴AB∥DE， AC∥FG，AB=AE=DE，AC=AF=FG

∴AMAC=DEEC， ANFG=ABBF

∵DE=AB，EC=AE+AC=AB+AF=BF

∴DEEC=ABBF

∴AMAC=ANFG

又∵AC=FG

∴AM=AN

通过上面几题，我们可以得出，利用比例的性质证明两条线段相等，要灵活运用平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的性质以及三角形相似的性质，找需要的成比例线段，这样才能顺利地解决问题。

【参考文献】

[1]罗碎海.数学探究与欣赏[M].广州：暨南大学出版社，2010.

[2]马复，陈怡，程燕云.初中数学教学策略[M].北京师范大学出版社，2010.

[3]顾泠沅， 黄荣金， 李业平.《数学课堂教学研究》[M]. 上海：上海教育出版社，2010.

[4]章飞，凌晓牧.初中数学研究与教学指引[M].北京师范大学出版社，2012.

[5]杨林.数学教与思[M].中国轻工业出版社，2012.

【贵州省教育厅高等学校人文社会科学研究基地项目：数学史融入初中数学教育的实验研究-以贵阳市乌当二中为例。课题编号：2017jd101】

（作者单位：贵州师范学院数学与大数据学院）