退耦近似在重味夸克分布函数标度演化中的应用

于思贺，李 刚，宋 昴

(安徽大学 物理与材料科学学院，安徽 合肥 230601)

重味夸克部分子分布函数(parton distribution functions，简称PDF)Q(x,μ2)描述了在能标μ下发现重味夸克Q携带动量分量为x(比约肯变量)的核子概率，给出了核子结构的基本信息.与重味夸克相关的过程对核子中的重味夸克成分有很强的依赖性，在高能强子对撞机上，尤其在大型强子对撞机(large hadron collider，简称LHC)和未来超级质子-质子对撞机(super proton proton collider，简称SPPC)上，其将做出重要贡献.对这些过程进行研究，需要知道部分子分布函数的各种信息，如微扰量子色动力学的标度演化信息、夸克禁闭非微扰信息.由于夸克禁闭，精确测量部分子分布函数的值非常困难.在标准方法中，粲夸克和底夸克的分布函数是通过胶子劈裂微扰得到的，这些分布函数服从DGLAP(Dokshitzer-Gribov-Lipatov-Altarelli-Parisi)演化方程[1-4]，粲夸克和底夸克分布的不确定性与胶子分布的不确定性高度相关.然而，仅用微扰产生的非本质重味夸克(extrinsic heavy quark)来描述重味夸克可能是不充分的.对于重味夸克部分子分布函数Q(x,μ2)，量子色动力学(quantum chromo dynamics，简称QCD)预言了重味夸克可以通过非微扰来产生本质重味夸克(intrinsic heavy quark)[5].extrinsic重味夸克和intrinsic重味夸克具有明显不同的分布，分别在小x区域和大x区域作主导贡献[1-3].

确定intrinsic夸克概率ω是当前重味夸克物理中的一个研究方向.在具体理论和实验分析中，需要不同ω值，但目前只有几个确定ω值的部分子分布函数可供研究人员使用.任意概率ω参数全局(global)分析异常复杂，不是一项简单的工作，如果忽略intrinsic重味夸克与轻味夸克及胶子的混合贡献，即采用退耦近似，则计算将变得相对简单.文献[19-20]采用退耦近似预言重味夸克分布，对ω=1%的计算进行了检验，给出了退耦近似计算与全局演化计算的结果，发现ω=1%时退耦近似演化可作为全局演化非常好的近似.但是，随着ω增大，intrinsic重味夸克的贡献越来越大，退耦近似是否还是一个合理的近似值得详细检验，因此，笔者拟详细比对退耦近似演化与全局演化的计算结果，对退耦近似的预言能力和正确性进行研究.

1 重味夸克PDF的演化

在任意能标μ下，部分子分布函数的能标演化服从DGLAP演化方程[1,4]，该演化方程可表示为

(1)

其中：g，q，Q分别为胶子、轻味夸克、重味夸克的PDF；PBA为部分子A劈裂到部分子B的劈裂函数；fL=3，fH=2；t=ln(μ2/Λ2).文献[21]给出了劈裂函数次领头阶解析表达式.

为了简单，使用记号⊗表示卷积，则式(1)可表示为

(2)

其中：Q=Qex+Qin.式(2)可改写为

(3)

若考虑intrinsic重味夸克对胶子和轻味夸克分布演化的贡献较小，忽略掉intrinsic重味夸克与轻味夸克及胶子的混合贡献，即采用退耦近似，则演化方程可分离为两个独立的部分.对于轻味夸克，可得到与标准演化方法相同的演化方程

(4)

对于intrinsic重味夸克部分，其服从非单态(在味空间变换下不是一个单态)演化方程

⊗Qin.

(5)

对于intrinsic粲夸克(IC)，其边界条件[2]为

(6)

2 数值计算及其结果分析

在计算中，采用退耦近似，忽略intrinsic重味夸克与轻味夸克及胶子的混合贡献.通过标准的计算方法得到extrinsic重味夸克分布，或者使用CTEQ实验小组的CTEQ6.6程序包提供的重味夸克分布.采用与CTEQ6.6程序包相同的参数，如强相互作用参数、重味夸克质量参数.利用非单态演化方程式(5)得到intrinsic重味夸克部分子分布函数.把演化得到intrinsic重味夸克与CTEQ6.6程序包演化得到的extrinsic重味夸克分布相加，得到重味夸克总的部分子分布函数.

图1 为IC概率ω=1%时的CTEQ6.6c0全局演化和退耦近似演化的粲夸克动量分布函数，图2为IC概率ω=1%时的退耦近似演化的粲夸克分布函数与CTEQ6.6c0全局演化的比值.

图1 IC概率ω=1%时的CTEQ6.6c0全局演化和退耦近似演化的粲夸克动量分布函数

图2 IC概率ω=1%时的退耦近似演化的粲夸克分布函数与CTEQ6.6c0全局演化的比值

从图1,2中可以看出，该文的计算结果与文献[19-20]的吻合较好.在不同能标下，全局演化和退耦近似演化的结果，在x<0.1时二者差别小于1%，随着x和μ的增大，退耦近似演化与全局演化的差别缓慢增大，x≈0.7时二者差别达极大，但仍小于8%.如果考虑在重味夸克实验拟合提取及演化计算中的各种误差，可认为退耦近似演化是全局演化非常好的近似.

图3为IC概率ω=3.5%时的CTEQ6.6c1全局演化和退耦近似演化的粲夸克动量分布函数，图4为 IC概率ω=3.5%时的退耦近似演化的粲夸克分布函数与CTEQ6.6c1全局演化的比值.

图3 IC概率ω=3.5%时的CTEQ6.6c1全局演化和退耦近似演化的粲夸克动量分布函数

图4 IC概率ω=3.5%时的退耦近似演化的粲夸克分布函数与CTEQ6.6c1全局演化的比值

从图3,4可以看出，在IC概率ω=3.5%时，在不同能标下全局演化和退耦近似演化的结果，在x<0.1时二者差别小于1%.但随着x和μ的增大，退耦近似演化与全局演化差别的增大比ω=1%时的剧烈，这是由于随着intrinsic重味夸克概率的增加，在大x区域intrinsic重味夸克与轻味夸克及胶子混合贡献越来越大.当x≈0.7时，二者差别达到极大，但仍小于8%.同样，考虑在重味夸克实验拟合提取及演化计算中的各种误差，可认为ω=3.5%时的退耦近似演化是全局演化非常好的近似.

图5 为在不同的比约肯变量下退耦近似演化的粲夸克分布函数与CTEQ6.6c1全局演化的比值.

(a)：IC概率ω=1%；(b)：IC概率ω=3.5%.图5 在不同的比约肯变量下退耦近似演化的粲夸克分布函数与CTEQ6.6c1全局演化的比值

从图5可以看出，在不同的比约肯变量下，随着能标的增大，全局演化和退耦近似演化结果的差别增大，但是在μ>10 GeV时，退耦近似演化的粲夸克分布函数与CTEQ6.6c1全局演化的比值趋于稳定，在μ>100 GeV时，比值几乎不变，最大差别仍小于8%，因此，退耦近似演化可作为全局演化很好的近似.

通过对图1～5的分析可知，退耦近似演化可作为全局演化很好的近似，对任意概率为ω的粲夸克分布，可把粲夸克分布函数表达为C(x,μ2,ω)=CCTEQ6.6(x,μ2)+Cin(x,μ2,ω)，CCTEQ6.6(x,μ2)为粲夸克的extrinsic部分，Cin(x,μ2,ω)为intrinsic部分，ω为intrinsic粲夸克的概率.因此，在BHPS模型退耦近似演化下，Cin(x,μ2,ω)可表达为

Cin(x,μ2,ω)=100×ω(CCTEQ6.6c0(x,μ2)-CCTEQ6.6(x,μ2)).

(7)

3 结束语

核子中存在非微扰的intrinsic重味夸克FOCK态是量子色动力学的一个严格的理论预言，对预言的研究是当前重味夸克物理中的一个重要课题.笔者采用退耦近似，忽略intrinsic重味夸克与轻味夸克及胶子的混合贡献，可把异常复杂的重整化群演化方程近似处理为通常的胶子、轻味夸克、extrinsic重味夸克演化方程及intrinsic重味夸克非单态演化方程.详细分析intrinsic粲夸克概率为1%，3.5%情况下退耦近似演化的计算结果，发现退耦近似演化可作为全局演化很好的近似，最大误差为8%左右.最后，给出了退耦近似的任意概率粲夸克分布，该结果可为后续重味夸克部分子分布函数实验提供理论支持.