光学波前参数的分析评价方法研究

杨影 刘民才 陈磊 朱文华 郑东晖

摘要：针对飞切法加工的玻璃元件面形的评价，研究了小波变换在光学表面低频段和中频段误差的分析方法。采用小波分解变换方法将波前信号的多频率成分分离，选取小波基bior2.8，有效地提取出元件的面形信息，同时将所需的中频段信息与占主成分的低频信息分离，得到中频段的特征频率为0.18mm^-1。该方法避免了频域滤波法所导致的幅频特性失真的问题，且可以更好地分析波前信号的细节和频率特性。

关键词：飞切法;波前评价;小波变换;特征频率

中图分类号：0436 文献标志码：A

引言

金刚石飞切法能够克服晶体材料质地软、脆性高、温度敏感性高等特点，是进行精密加工的有效手段。飞切法加工时，采用单一方向“飞刀”切削的加工方式，因受周期性走刀、机床振动、环境振动等多种因素的影响，加工表面将残留大量的不同频率的波纹误差，在光学系统中该误差将导致光束分散，因此必须严格控制。

对于中频段的波纹误差，Lou等以测量的原始表面波前作为输入，采用Motif方法通过设定不同的分离阈值成功提取了表面4个波纹度表征参数。但该方法获取的是表面形貌的平均参数，并未实现波纹误差的分离。为了将所测波前中的波纹误差分离出来，Zhang等H采用功率谱密度（PSD）定量地计算出加工表面不同频率形貌信息的分布。阳红等用PSD评价和控制大口径磷酸二氢钾（KDP）晶体飞切加工后的表面中频段波纹误差。Kim采用快速傅里叶变换（VFT）分析方法从被测波前中提取出不同频段的频域信息。传统的FFT分析法适用于波前的整体分析，但不能用来分析局部的细节特征，且存在频率截断导致幅频特性失真的问题。小波变换（WT）分析方法有空间频率局部化和多尺度视角的优势，在描述表面特性方面效果明显。Chen等运用了小波、PSD和分形理论等方法分析了KDP晶体结构的光学特性和表征方法。Wang等使用小波变换分析方法分析KDP晶体的表面构造并评价表面粗糙度。陈东菊等采用小波变换实现了金刚石切削表面形貌的多尺度分解与合成，获得了表面主要频率特征的空间形态及其对原始形貌的影响程度。上述分析是针对元件表面的三维形貌或高频的粗糙度，且原始波面是由Veeco白光干涉仪测量所得，不适用于激光干涉仪测量波前的中频段特征分析。

本文研究小波变换在飞切法加工表面低频段和中频段误差的分析方法，对光学波前作小波多尺度分解，重构相应尺度上的低频信息和高频细节信息，得到低频的面形信息和所需的中频段波面。通过进一步计算平均PSD，提取出中频段的特征频率。

1小波变换方法

本文研究的待测件为飞切法加工的400 mm口径玻璃元件，该元件表面除了低频面形信息外，还有受周期性走刀、机床振动等因素影响而残留的波纹误差。由于波纹误差相对于低频面形信息属于极小量，所以采用小波变换分析波前中频段的细节信息。不同的小波基具有不同的时频特性，用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果，故小波基的选择对波前信息的分析和处理有重要的作用。使用具有线性相位特性的小波基，能在一定程度上减少对波前分解和重构时的相位失真，为了有效地揭示表面信号各频率成分，在x、y方向上选用相同的双正交小波基bior2.8。bior2.8具有紧支撑性、大的消失矩阶数、线性相位型、好的频带间相干性等优良性质。

对波前进行小波多尺度分解就是使用以bior2.8为小波基的小波滤波器，将波前分解为低频面形和高频细节部分。尺度1下得到的低频面形又可以在尺度2下进一步分解为低频面形和高频细节，依此类推，波前信息可以被分解为不同的频段成分，直到得到所需的频段信息。具体过程如下：设低频部分为aⁱn，高频部分为aⁱn，可表示为

2光学波前分析与评价

2.1光学波前低频面形信息分析

对波前作小波变换，小波基为bior2.8。對第八层的低频信息进行单支重构，得到被测件的低频面形信息，计算峰谷（PV）值和均方根（RMS）值得到面形的质量。将小波分析的面形结果与傅里叶低通滤波后的面形结果进行比较。为避免偶然性，分析对比了10块在相同条件下飞切加工的玻璃样品的波前测量数据，得到的PV值和RMS值结果如图1所示。

由图1可以看出，小波分析结果基本与低通滤波分析的结果相近，使用小波分解可以得到被测元件稳定的低频面形信息。

2.2光学波前中频段频率特征分析

对波前作小波变换，小波基为bior2.8。对第三层的高频信息进行单支重构，得到被测件的中频段信息，计算其平均PSD得到定量的频谱值，如图2所示。图2标出了功率占优的特征频率点，其中最明显的特征频率点为0.18 mm^-1，其次还有0.19mm^-1。特征频率点表示了该波段主要的波纹误差，特征频率值反映了加工过程中波纹误差的来源，以此来指导加工。

为验证小波方法分析得到的结果，采用傅里叶带通频域滤波器对原始波前进行带通滤波，截止频率为0.03mm^-1到0.3mm^-1，滤波结果和平均PSD的计算结果如图3所示。图3标出了功率占优的特征频率点，其中最明显的特征频率点为0.19mm^-1，其次还有0.11mm^-1、0.16mm^-1、0.18mm^-1、0.23mm^-1。

由此可以看出，0.18 mm^-1和0.19mm^-1。是两种分析方法共同的特征频率值。带通滤波法分析得到的频率点相对较多，没有功率绝对占优的频率点。此时并不能确定这些频率点是波前中频段存在的特征频率点，还是频率截断引起幅频特性失真带来的影响，所以要分析比较10块在相同条件下飞切加工的玻璃样品的波前测量数据。小波变换法分析得到的中频段特征频率点及相应的统计结果如表1所示，表中N表示10组分析结果中出现该频率点的统计次数。

带通滤波分析得到的中频段特征频率点及相应的统计结果如表2所示。

将表1和表2的统计结果直观地显示在如图4所示的柱形图中。由图4可以看出，小波分析所得的特征频率点为0.18 mm，带通滤波法分析所得的特征频率点也是0.18mm^-1，这两个结果完全吻合，因此小波变换可用来分析中频段的频率特征。小波分析方法得到了功率绝对占优的特征频率点，统计结果证明了该频率点确实是由飞切加工方法引入的。由于本文波前中波纹误差占较少成分，幅频相位失真会导致无法提取出真实的特征频率，带通滤波法的分析结果可以证实这一点。相较带通滤波法，小波变换法不存在频率截断的影响，几乎不会引入干扰频率点，且能够提取主要的波纹误差成分，可见小波变换法能很好地分析波前中频段频率特性。

3讨论

3.1适用性分析

在光学表面低频段和中频段误差的分析中，小波变换法表现出了良好的性能。在低频段分析中，小波变换可以滤除中高频段的误差，得到直观的面形信息。在中频段分析中，小波變换可以在大量的低频信息中以多尺度的视角提取出所需中频段的波纹误差，避免了傅里叶滤波法频率截断导致波面幅频特性失真的影响。从图4所示的对比图中可以看出，小波变换法提取的特征频率点少而集中，10组波前数据中有9组都检测到了0.18mm^-1的特征频率，且剩余频率点的统计次数加起来只有10次。而傅里叶滤波法提取的频率点数有12个，统计次数加起来有35次之多，其中只有0.18mm^-1可以称作为特征频率点。由此可以看出带通滤波时频率截断导致幅频特性失真的问题确实影响了特征频率点的提取。在分析飞切法加工的玻璃元件面形时，小波变换法的适用性明显优于带通滤波法。

3，2小波基的选取

小波基的选择对波前信息的分析和处理有重要的作用。使用具有线性相位特性的小波基时，能在一定程度上减少对波前进行分解和重构时的相位失真。Biorthogonal（biorNr.Nd）、Symlets（sym.N1、Coiflets（coifN）小波族均具有线性相位特性，同时也具有紧支撑性、大的消失矩阶数、好的频带间相干性等优良性质。小波序列Ⅳ决定了小波基的支撑范围和消失矩阶数。紧支性决定了小波的局部化特性，消失矩阶数与重构波面的频域分辨率有关。以MATLAB为工具分别使用biorNr.Nd、sym.N、coifN函数系为小波基，以此分析波前数据并重构尺度3的高频信息，观察比较不同小波基对波前的处理效果。结果显示：小波序列Ⅳ较小时，尺度3重构波面的空间分辨率较低;小波序列Ⅳ较大时，尺度3的重构波面的空间分辨率高，但提取的走刀痕迹不明显。所以在选择小波基时，要兼顾空间分辨率和表面特征频率的提取。以此为标准，选出以下10+11啵基bior2.6、bior2.8、bior3.1、bior33、bior3.5、coil2、coil3、sym3、sym4、sym5。

使用以上10个小波基重构得到尺度3的中频波面，计算平均PSD得到定量的频谱图。比较最明显的特征频率点的谱密度，如图5所示，可以定性地分析出该10个小波基提取特征频率的能力。图5显示bior2.8小波基的分析效果最好，适用于本文的特征频率分析。

4结论

本文研究了小波变换在光学表面低频段和中频段误差的分析方法。小波变换的多尺度分析特点既能从大量低频信息中提取出所需中频段信息，又可避免频域滤波法所导致幅频特性失真的问题。本文经过分析得出，相对于其他小波基，bior2.8小波基可以更有效地评价飞切法加工的光学表面的特性，并能准确提取中频段的特征频率。该方法分析结果准确稳定，适用于分析和控制飞切法加工元件表面的中频段加工质量。