弹体水平入水的空泡扩展相关特性研究

郭子涛， 陈 拓， 郭 钊， 张 伟

(1. 九江学院 土建学院，江西 九江 332005； 2. 哈尔滨工业大学 航天学院，哈尔滨 150001)

早期关于弹体入水的问题已有大量的试验与理论研究，但是入水问题的复杂性使得高速入水空泡的动力学问题并不能用数学方法完全解析，因此各种预测方法都不得不借助一些特定的假设来近似处理相关问题。May[1-2]研究了钢球垂直入水的问题后发现随入水深度的增加，弹体的动能损失大部分转化为产生空泡需要的能量，并指出这种原因可能是由空泡的径向扩展引起的。Birkhoff等[3]认为弹体在空泡截面上的动能损失转变为空泡的动能和势能并给出了垂直入水的空泡模型，Lee等[4]在Birkhoff等研究的基础上研究了弹体高速垂直入水的情况。Duclaux等[5]和Aristoff等[6]基于Rayleigh-Besant问题的一种求解方法对圆球、柱体及圆盘等低速垂直入水时空泡的产生、增长及后期的颈缩现象进行了理论分析，在此基础上Guo等[7-8]对不同头型柱形弹体水平高速入水的速度衰减特性及空泡扩展特性进行了研究，Yao等[9]采用相同的方法对圆柱状球形头弹体低速垂直入水进行了试验和理论分析，并考虑了重力的影响。Bodily等[10]对低速弹体入水进行了研究，获取了四种轴对称弹体入水后空泡的形成、扩展以及闭合形态。He等[11-13]针对不同锥角头型圆柱体垂直撞击自由液面后所生成的空泡内部压强分布、亲水性及疏水性球体垂直入水过程以及具有正浮力特性的开放腔体圆柱壳模型低速垂直入水后的运动轨迹、轴向压差阻力波动特性及入水空泡发展规律等进行了数值模拟。张志宏等[14-17]近几年基于细长体理论、匹配渐近展开法及势流理论，建立了描述水下亚声速及超声速条件下细长锥型射弹超空泡流动的数值方法，分析了流体压缩效应对超空泡形态以及阻力系数等流动参数的影响。

弹体水平方向入水与垂直方向的入水问题在处理空泡内外压差Δp时稍有差别。在弹体垂直入水时，空泡外压强将随弹体侵深的增加而线性增加，因此空泡内外压差Δp也经常表示成关于弹体侵彻深度Z的一种线性关系，例如Duclaux等和Aristoff等在处理低速弹体垂直入水时，由于空泡内部长时间与大气相通，空泡内压力与大气压相等，引起空泡内外压差的只有弹体的侵彻深度引起的水下压差, 故Δp为ρgz； Lee等在处理弹体在很高速度下垂直入水时，由于弹体瞬时高速入水，空泡内压力未来得及与大气相通，故空泡内压力认为是0，故Δp为pa+ρgz， 其中pa表示外大气压，在处理低速入水的空泡内外压差时，Lee等采用了和Duclaux等相同的处理方式。但在弹体高速水平方向入水时，如果不考虑水体的深度的影响，弹体入水形成的空泡内外压差Δp和弹体侵彻深度将不再呈线性关系，空泡内外压差Δp在侵彻深度上的变化规律难以确定，最常用的方法一般是把水平入水形成的空泡内外压差Δp简单估为常值, 但这种处理方式用来研究分析高速水平入水时的空泡演化规律仍缺乏数据和理论支持。

本文利用轻气炮设备对平头、半球头、截卵形等柱形弹体以及球形弹体进行了一系列高速水平入水试验，利用高速相机记录了弹体入水和空泡扩展的详细过程，并结合理论分析着重考察了空泡内外压差Δp随入水侵彻位移的变化规律，同时研究了空泡壁的扩展速度特性，相关结论对以后分析弹体水平入水时的空泡扩展行为有重要参考价值。

1 试验装置

试验装置包括一级气体炮发射设备、光照系统、激光测速装置、水容器以及光学相机等几部分。水容器一侧为透明PC窗口，高速相机可通过它观察弹体在水中飞行的弹道轨迹。试验弹体分为平头、半球头、截卵形三种柱形弹体及球形弹，材料为高强度钢，弹径均为12.65 mm。平头弹长度25.4 mm，半球形弹体总长度长度38.1 mm，截卵形弹体头部曲率半径比(CRH=S/D)为1，总长度为27.3 mm, 截后最头部尺寸D1为8.22～9.30 mm，圆球形弹体半径为6.15 mm。试验设置和几种柱形弹体示意图，如图1所示。

图1 试验设置及弹体头型示意图Fig.1 Sketch of experimental set-up and projectile nose shapes

2 试验结果及理论分析

2.1 几类头型弹体入水行为对比

图2(a)～图2(d)所示为相同直径的平头弹、半球形弹、截卵形弹及球形体高速入水及空泡扩展的过程。试验中发现，头型形状对空泡形态的大小及弹道稳定性起着重要的影响，平头弹体在水中运动时形成的空泡尺寸较大，弹道也最稳定。

图2 几种弹体水平入水的空泡扩展过程Fig.2 Photographs of water-entry of projectiles

2.2 弹体入水运动方程及空泡扩展演化规律

忽略弹体重力效应并根据牛顿第二定律，弹体在水中运动时存在以下方程

(1)

式中：mp为弹体质量；vp为弹体水中瞬时速度；ρw为流体密度；A0为弹头横截面面积；Cd为弹体水中运动阻力系数。

通过对式(1)求解可得到弹体水中运动速度与侵彻位移之间的关系为

vp=v0·exp(-βxp)

(2)

对于不同头型弹体的入水行为，Guo等基于Rayleigh-Besant方程及理论分析给出了弹体水平入水时的空泡截面半径随时间的扩展演化公式，其可表示为一个关于Δp和N两个未知项的函数，即

(3)

2.3 空泡内外压差Δp的模型的确立和验证

根据能量守恒原理，一个空泡截面上的空泡径向扩展到最大时，此截面的空泡内势能将全部由空泡扩展的初始动能全部转化而来，也即弹体在这个空泡截面上的动能损失全部转化为这个截面的空泡内势能，由此本文建立了空泡内外压差Δp理论模型，并考察了空泡内外压差Δp随入水侵彻位移的变化规律。

某个空泡截面时刻t的势能可表示为

(4)

当这个截面上的空泡半径达到最大时，根据能量守恒有

(5)

式中：Rm为空泡截面可扩展到的最大半径。由式(5)， 可得Δp与空泡最大半径和侵彻瞬时速度的关系

(6)

(7)

式中：A和B为常值参数。

图3 不同入水工况中每个点的(Rm/R0)2和(vp/v0)2之间的关系Fig.3 Relations between values of (Rm/R0)2 and (vp/v0)2 of different locations for several water-entries

本文假定在空泡截面上的空泡半径由最初扩展到最大Rm的过程中， 此截面上的空泡内外压差Δp(x=xp)保持不变，根据式(2)、式(6)和式(7)，可得Δp与侵彻位移的关系

(8)

从式(8)可知， 当A为0时， Δp在入水弹道上保持为常值，与侵彻位移无关；反之，Δp为关于侵彻位移xp的函数。

为了进一步验证空泡内外压差Δp模型， 在上述几个入水试验中着重选择了3个工况进行研究：①平头弹体以119.6 m/s入水的工况(计算的A<0)； ②半球形弹体以125.9 m/s入水的工况(A≈0)； ③球形弹体以163.4 m/s入水的情况(A>0)。通过研究每个工况弹道轨迹上随机选取的3～4个截面的空泡扩展过程，并利用式(1)对通过试验测量获得的空泡扩展数据进行最小二乘法拟合，可以获得在各个空泡截面的Δp和N的最佳拟合值，拟合效果，如图4所示。同时Δp值也可以通过测量入水工况中选取的每个点的最大空泡半径Rm由式(6)直接计算得出。上述三种工况中每个空泡截面上Δp的计算值和拟合的最佳值与Δp理论模型式(8)计算结果比较，如图5所示。从中可以发现三者吻合较好，压差Δp模型完全预测了拟合值和计算值随侵彻位移的变化趋势，同时可以发现空泡内外压差Δp随侵彻位移的两种变化规律：①是几乎在侵彻位移上保持不变；②是随侵彻位移变化而变化。

可以看出A的取值影响着压差Δp的变化规律， 但不同工况中A取值规律与弹型、入水速度等参数之间的相互关系及内部机制还需要进一步的深入研究，同时压差Δp理论上的结果也只是间接得出的，仍需要后期的试验测试验证。

图4 三种入水工况空泡扩展的试验数据与公式拟合曲线对比Fig.4 Comparison between the experimental data of cavity expansion and fitted curves

图5 空泡内外压差Δp模型与最佳拟合值和计算值的比较Fig.5 Comparison between the fitted and calculated values of Δp and the pressure difference model

2.4 空泡截面扩展速度特性研究

对式(3)求导，可得到空泡截面径向扩展速度与时间的关系式

(9)

弹体经过每个空泡截面时，空泡壁开始扩展，扩展初速度瞬间增大随后迅速降低并随时间缓慢至零，此时空泡半径达到最大；当空泡开始收缩时，空泡壁速度又由零值先缓慢后迅速反向增大。平头弹体以119.6 m/s, 截卵形弹体以110.4 m/s, 球形弹以163.4 m/s和半球形弹体以125.9 m/s速度入水后的空泡扩展速度数据和理论对比，如图6所示。可发现试验和理论吻合较好。

图6 不同入水工况中固定点处空泡截面径向扩展速度随时间变化Fig.6 Time evolution of cavity wall velocity of fixed locations for several water-entry cases

除了空泡截面扩展的瞬时速度特性外，本文还对空泡截面径向扩展由初始到最大半径时的平均速度进行了研究，本文中空泡截面扩展的平均速度由式(10)定义

(10)

式中：tm为截面空泡半径到达最大的时间。

(11)

将式(11)代入式(10)，可得到空泡截面扩展的平均速度为

(12)

从式(12)可以看出空泡的平均扩展速度主要由Δp和N两项控制。根据前文所述，通过式(3)拟合不同工况的空泡截面扩展尺寸与时间的关系，可以得到Δp和N在不同空泡截面的最佳拟合值，因此再根据式(12)可求得泡截面扩展的平均速度理论值。图7归纳了几种弹体分别入水时通过试验测量值和公式预测值，在弹道轨迹上不同截面处的空泡平均扩展速度对比。结果表明在同一入水工况中沿弹道轨迹上不同空泡截面处的空泡平均扩展速度中基本保持不变，μ取值范围约为7～10 m/s，试验数据和模型预测结果吻合较好。

图7 试验测量的和公式预测的不同截面处的空泡平均扩展速度对比Fig.7 Comparison of experimental and predicted average cavity wall velocities at different cavity sections

3 结 论

本文通过对不同头型弹体水平入水的试验和理论分析，对空泡内外压差Δp随入水侵彻位移的变化规律以及侵彻轨迹上不同截面处的空泡壁扩展平均速度进行了初步研究，建立了弹体水平入水时空泡内外压差Δp的理论模型，发现了空泡内外压差在弹体入水过程中的两种变化规律：①几乎在侵彻位移上保持不变；②随侵彻位移变化而变化，但是压差Δp变化规律与弹型、入水速度等参数之间的相互关系及机理仍需要进一步研究及试验验证。通过对空泡壁扩展平均速度的理论和试验对比，发现弹体在同一入水工况条件下不同截面上的空泡平均扩展速度基本保持一致，试验数据与理论计算吻合较好。