圆锥曲线中定点问题的三种模型

■河南省濮阳市第一高级中学 赵 昊

定点问题是常见的题型,解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立寻找不受参数影响的量。解直线过定点问题的通法:设出直线方程y=k x+m,通过韦达定理和已知条件找出k和m的一次函数关系式,代入直线方程即可。技巧在于:设哪一条直线?如何转化题目中的条件?圆锥曲线是一种很有趣的载体,自身存在很多性质与结论,如果同学们能够熟记这些常见的结论,那么解题时必然会事半功倍。下面总结圆锥曲线中定点问题的三种常见模型。

模型一:“手电筒”模型

例1已知椭圆,若直线l:y=k x+m与椭圆C相交于A,B两点(A,B不是左右顶点),且以A B为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标。

解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方

因为以A B为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),所以kAD·kBD=-1,即

解得m1=-2k,m2=且满足3+4k2-m2＞0。

当m=-2k时,l:y=k(x-2),直线过定点(2,0),与已知条件矛盾;

整理得7m2+1 6m k+4k2=0。

小结:椭圆有一些常见的结论,比如:过椭圆上任意一点P(x0,y0)作相互垂直的直线,交椭圆于点A、B,则弦A B必过定点

模型拓展:本题还可以拓展为“手电筒模型:只要任意一个限定A P与B P条件(如kAP·kBP=定值,kAP+kBP=定值),直线A B依然会过定点(因为三条直线形似手电筒,故称为手电筒模型)。

模型二:切点弦恒过定点

例2有如下结论:圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)处的切线方程为x0y+y0y=r2。类比,也有结论:椭圆＞0)上一点P(x0,y0)处的切线方程为的右准线l上任意一点M引椭圆C的两条切线,切点分别为点A、B。

(1)求证:直线A B恒过定点;

(2)当点M的纵坐标为1时,求△A B M的面积。

解析:(1)由题意,设A(x1,y1),B(x2,y2),结合性质可知,MA的方程为

小结:切点弦的性质虽然可以当结论用,但是在正式的考试过程中不能直接引用,需进行必要的说明。

模型三:相交弦过定点

例3 已知椭圆,若直线l:x=t(t＞2)与x轴交于点T,P为直线l上异于点T的任一点,A1(-2,0),A2(2,0),直线P A1、P A2分别与椭圆交于M、N点,试问直线MN是否通过椭圆的焦点,并证明你的结论。

小结:相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展,但具体而言,相交弦过定点涉及坐标较多,计算量相对较大,解题过程中一定要注意细节,同时注意总结解这类题的通法。