合理设计教学过程 发展学生核心素养——以“零指数幂、负指数幂”为例

石志群

(江苏省泰州市教研室 225300)

新一轮课程改革提出了“核心素养”的概念和中国学生核心素养的基本框架与内容，各学科也据此明确了学科核心素养的具体内容，普通高中数学课程标准提出了“数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析”六大核心素养，并在“课程性质”中提出了“提升学生的数学素养，引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维分析世界，会用数学语言表达世界”的观点.笔者认为，“用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界、用数学语言表达世界”既是数学核心素养的表现形式，更是发展学生数学素养的基本路径.也就是说，要发展学生的数学素养，特别是数学核心素养，在数学教学过程中就必须引导学生用数学眼光观察世界、用数学思维分析世界、用数学语言表达世界.

下面以“零指数幂、负指数幂”为例，谈谈笔者对基于发展学生核心素养进行数学教学设计及其思考.

1 一个案例

1.1 用数学的眼光看世界

课程标准中对“用数学的眼光观察世界”中的“世界”是有明确的定位的，也就是“发现问题、提出问题”中“问题的来源”，指：现实世界中的、科学中的、数学中的问题.换句话说，“用数学的眼光观察世界”就是指用数学眼光观察现实世界(自然的、社会的)、用数学眼光观察科学世界(自然科学、社会科学)、用数学眼光观察数学世界(数学内部的问题、规律、关系等).

由于零指数幂、负指数幂是正整数幂的推广，可用下面的方法直接提出问题：

前面我们学习了同底数幂相除的运算性质：

aman=am-n(a≠0,m,n是正整数，m>n)，

为什么要规定m>n？

学生可以想到：可以考察如果m不大于n，即m≤n，会出现什么情况：

若m=n，那么就会出现a0，如果m

师：为什么不允许呢？

生：因为an的意义是n个a相乘的积，0个a相乘、-1个a相乘是没有意义的！

师：很好！下面请大家再考虑一下：当m≤n时，aman是不是就不好运算呢？比如，2323，2324？

师：从上述过程可以看到，要解决同底数幂的除法运算法则在m≤n时能否运用的问题，可以归结为如何解决“0个a相乘没有意义、-1个a相乘没有意义”等问题.

1.2 用数学的思维分析世界

为了解决提出的问题，需要运用数学思维进行分析.而归纳特例、回到原点、直观想象都是数学思维的重要形式.

师：请大家考察一个与乘方有关的实际问题：

1个细胞分裂1次变为2个，分裂2次变为22个，分裂3次变为23个，分裂4次变为24个，……

当这个细胞没有分裂(即分裂次数为0)时，细胞的个数是多少？

生：还是1个.噢，这说明20=1还是有道理的！

师：那我们怎么办？

生：规定

20=1.

师：非常好！这说明只要将乘方的概念加以推广，20就可以有意义了，从而同底数幂除法运算的法则在m=n时也就可以成立了！

请大家再思考一下，2-1是否有意义呢？

(停顿片刻)

大家可以先用数轴进行分析，在数轴上依次标出24，23，22，21，20所表示的点，并研究这些点之间的关系.

(学生思考)

生：从图中可以看出，指数每减少1，幂所对应的点为原点与前一个点的中点.

师：按照这个趋势，如果2-1有意义的话，那么它所对应的点应该在哪里？对应的实数是哪个？

生：……

师：根据正整数指数幂的意义，如果2n=x，那么，2n+1应该是多少？

生：2x.

师：那么，上述猜想的结果是否应该也满足这样的特性呢？

生：应该……是的，真的也满足.

师：既然如此，一般地，2-n(n为正整数)应该是多少呢？

生：……

1.3 用数学的语言表达世界

师：下面请大家用数学语言对20，2-1，以及一般地2-n(n是正整数)下定义.

师：那么a-n(a≠0)呢？

(板书相关规定)

最后说明：

aman=am-n(a≠0,m,n是整数)

成立.

思考：

am×an=am+n(a≠0,m,n是整数)

是否成立？同底数幂的乘法运算法则与除法运算法则之间有着怎样的关系？

2 几点思考

这是一节课题研究型的数学建构课，从学生已有知识结构出发，运用数学的眼光发现问题(事实上，历史上的数学家们也就是这样发现问题、发展数学的，或者说，这就是数学研究的基本过程)：为什么同底数幂的除法运算法则中要作m>n的规定？进而通过数学的思考，将其归结为零指数幂、负指数幂有没有意义这个核心问题(或中心问题).先让学生由乘方的意义(原始意义)发现它没有意义(正因为其没有意义，我们才有资格对其进行新的定义)，再通过数学的思维进行分析，从而发现其新的意义，进而引入零指数幂和负指数幂的概念.

本课，学生经历了数学探究的完整过程：

从原运算法则的“不能”，思考“为什么不能？”通过数学分析，寻找零指数幂、负指数幂的新的意义，从而拓展了乘方运算的意义，而这种“新”的意义又保持了正整数指数幂所具有的相互关系.这样的过程，充分体现了拓展新概念的必要性、合理性，又渗透了数学的统一美，让学生感受到数学的理性精神和价值理念.同时，这为将来将整数指数幂推广到分数指数幂打下了思想与观念的基础(其推广的方法可以完全类似于此).

从教学的视角看，“用数学眼光观察世界”就是发现问题，“用数学思维分析世界”是解决问题(用数学的知识、方法、思想、观念等)，而“用数学的语言表达世界”则是将解决问题的结果(有时也包括过程)用数学的语言(符号、图形以及必要的文字)表达出来，得到数学的模型.这是一次数学的“再发现”过程，学生经历的是一次真正的数学活动.

这个学习过程对于初中学生而言是完全可以胜任的，符合学习的最近发展区理论.这是因为在学习过程中教师充分发挥了主导作用，适时地给学生以帮助、支持，为其数学思维提供“脚手架”.

通过上述案例，笔者认为，数学核心素养的培养应该寓于我们平时的每一节课的教学过程之中，寓于教学的每个环节的精心设计.这种设计既要符合数学的发展规律和内在联系，还要符合数学的研究规范，更要符合学生的认知规律和心理倾向，绝对不能让教师的“权威”替代了数学的理性：数学中的“规定”不是那么随意的，它需要有数学赋于的权利，也要有现实的合理性，还要符合数学内部的和谐一致.