基于改进的GARCH模型对VaR风险研究

张健

摘 要：当前，GARCH模型普遍地被应用在金融资产序列波动性的预测，以及在险价值VaR的计算及市场风险管理中。针对股票市场的特点，采用将交易量与价格极差加入传统的GARCH模型中的方法对上证综合指数进行研究，发现不仅可以改善部分GARCH模型的拟合和预测结果，而且对于金融市场中标的资产的GARCH效应的解释能力逐渐降低，甚至有些资产标的物GARCH效应直接消失了，其中交易量和价格极差作为重要代理变量在关于收益率波动持续性方面表现出良好的解释作用，同时计算向前一步预测的在险价值VaR并对计算出的结果进行检验。实证研究表明，改进后的GARCH模型预测的VaR值相比于传统的GARCH模型计算结果更加准确，降低了VaR失效的概率，使得预测得到的VaR值与实际结果更加接近。

关键词：多元GARCH模型;交易量;价格极差;VaR

中图分类号：F830        文献标志码：A      文章编号：1673-291X（2019）03-0078-06

经过长时间的研究发现，金融证券市场一般发生剧烈的震动之后，其后的波动依然是剧烈的震动，与之相同的是在较小变动之后，一般其后的变动也是较小的变动。一般将金融市场中这类能持续一段时间波动性变动的现象称为波动的持续性[1]。Engle第一次提出ARCH（Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型，但是在该模型实际应用中发现需要滞后多阶才能较好描述收益率异方差性[2]。因此在随后的时间里，Bollerslev在这一理论的基础上提出GARCH（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity）模型，能夠对证券市场波动特征做出了更好的拟合。理论解释方面，Parkinson[3]以及Garman和Klass[4]等在研究中提出，用资产价格在一个时间段内最高价与最低价之差，可以更加有效估计金融资产波动率。Clark[5]及Tauchen等[6]提出投资者的多次交易使得交易量与两方面信息流相关，一种是当前信息，另一种是已经存在的信息。还有Gallo通过对金融证券的实证研究之后发现，将交易量加入传统模型中，可以对GARCH效应起到更好的解释作用[7]。近几年，人们开始对利用价格极差来建立波动率的模型产生了浓厚兴趣。Alizadeh提出了一种利用极差估计波动率的方法，并在实证中发现相比于传统方法，极差模型得到更好的估计效果。随着金融证券市场的发展与我们的日常生活联系越来越紧密，在险价值VaR也越来越被人们认可[8]。其中，Timotheos  Angelidisa运用ARCH族模型计算五个股票指数的日风险价值，发现t分布能够更好地预测在险价值VaR[9]。Mehmet Orhana利用两个不同发展阶段的金融市场的数据，对数据进行处理时发现，利用参数方法计算在险价值VaR时，在t分布下建模效果相比较与在标准正态分布假设下的建模效果要更好[10]。其中，在国内金融市场里面，孙便霞等利用价格极差，在传统的GARCH模型基础上构造出一种新的模型可以更好地刻画波动率变化非对称性的特点[11]。郑文通首先对产生的背景、计算方法和在金融领域的应用进行了概括性研究，其主要目的在于强调我国引入模型进行风险管理的必要性[12]。杨继平和袁璐提出了具有Markov结构转换的非参数GARCH研究中国股市，在此基础上对深证与上海两个股市的VaR值进行计算同时进行评价[13]。本文基于以上研究，利用上海交易所的主板数据将交易量与价格极差同时加入GARCH模型，在学生t分布下计算在险价值VaR，最后进行检验与回测。

一、改进的GARCH模型与研究方法

（一）交易量与GARCH模型

根据混合分布假设，金融资产在某一时期内的综合收益率分布是大量个别分布混合组合而成的。金融资产价格的每一次变动都是由于流向市场的信息流所导致的，交易才产生价格变动[14]，假设我们用Rt表示每次交易所发生的收益率累加，即：

式中，？啄it是t日第i笔交易的收益率，nt是当天的交易量，表示t日到达市场的信息量。假设？啄it独立同分布，并且服从N（0，？滓2），因为？啄it与nt是随机变量，所以Rt服从以nt为混合变量的正态分布的混合分布。因为？啄it～N（0，？滓2），且独立分布。所以，当nt足够大时，那么根据中心极限定理可以得到：

假设nt是一个自回归过程，那么就可以表示为：

上式为具有AR形式的GARCH结构，与ARMA形式的GARCH条件方差相比只是存在形式上的差距，这一时间段到达的信息数量与金融资产收益率波动性有关。某一个时间段信息量越大，对不同的投资者而言就会有更多不同的决策选择，那么参与投资的投资者就会更多，更多的投资者有意愿去参与投资。因此，可以把交易量作为GARCH模型中的代理变量。

（二）价格极差与GARCH模型

投资者通常会根据最高价、最低价、收盘价等信息，尤其是可以反映当日股价变动信息的K线图，来判断和计算收益率变动情况。但是，在建立模型时并没有综合考虑到收盘价以及价格极差对于对数收益率的影响。通过实证发现，在GARCH模型引入价格极差，可以对金融资产价格波动率更加有效地进行估计。

通常假定金融资产的价格Pt服从几何布朗运动，把从t-1至t之间的时间段等分为n份，其中n×？驻t=1，当n足够大的时候，则可以认为？驻t是很小的时间间隔，那么对数收益率就可以表示为：

在上述关于金融资产价格的假定下，可以近似地认为{rt，i，i=1，2，3…，n}是相互独立的，将方差设定为D，那么，Var（rt|It-1）=n×D，It是关于金融价格的信息集合，那么在给定了信息集合It-1的情况下，金融资产收益率在t时刻的方差可以看成t-1至t中间无数很小时间间隔收益率方差之和。金融资产价格对数ln（Pt）是从t-1至t的时间段内资产标的物最高价减去最低价可以表示为：

Feller在1951年推导的价格差与波动率的关系是E（Rt|It）=1.5958，在1980年时，Paikinson对于该公式进行了改进，在数学公式上证明了最高价减去最低价的波动率代理变量的有效性比基于收盘价的传统的度量方式大大提高。尽管仅仅依靠当天最高价和最低价无法计算出当日波动率，当天交易价格波动范围能够从当日最高价和最低价之间的价格极差反映出来。如果假设n=1，那么Paikinson的公式就变成？虽然在有效性上会有所下降，但是这一公式依然能够说明价格极差可以作为波动率的代理变量。

因此，我们同时将交易量与价格极差作为重要的代理变量同时加入传统的GARCH模型中，具体形式如下：

式中，Vt代表交易量，Rt代表价格极差，其中引入？酌Vt和？缀Rt，可以根据模型的实际形式进行调整，系数？坠和？茁之和代表着收益率波动的持续性，如果引入交易量和价格极差后，？坠和？茁之和与滞后项的阶数发生变化，那么就可以说明交易量和价格极差在解释条件方差的许多特性。

二、在险价值VaR的计算及回测

（一）VaR计算方法改进

VaR作为一种风险管理的办法，评价有效性的标准是：金融资产的实际损失与VaR预期损失是否相符。在计算在险价值VaR时，依据金融资产收益率假定服从的概率分布，计算出的主要统计特征如：方差协方差、期望值等。GARCH模型通过对条件方差的估计，在正态分布，t分布，GED分布三种不同分布下，一定的置信水平和持有期间，计算出具有时变性的VaR，提高了在险价值VaR对金融资产价格变化的敏感性。在上文中我们把价格极差和交易量作为代理变量加入GARCH模型，改善了對条件方差的预测以及估计，使条件方差不仅包含了收盘价这个重要信息，更包含了在交易当日时间内价格波动的上限与下限以及交易信息对于收益率的影响。

在假定金融资产价格Pt服从几何布朗运动的前提下，在信息集合It-1，收益率rt被认为服从正态分布，期望值为ut，方差为？。那么在t时刻，设股票持有期为1天，选择置信区间为c，则从t至t+1时刻金融资产的在险价值VaR：

式中，z1-c表示在标准正态分布条件下置信水平为1-c所对应的分位数。在我国的股票市场中通常利用GARCH（1，1）模型就可以较好地刻画金融资产波动变化的大部分特点。因此，对于t+1时刻的波动率的预测是ht+1|t=a0+？坠1e+？茁1h1;那么在t+1时刻VaR值则表示为：

那么对于改进之后的GARCH（1，1）模型，对于下一期t+1时刻的波动率预测为ht+1|t=a0+？坠1e？茁1h1+？酌Vt+？缀Rt，收益率期望值u1的预测不变，那么在险价值VaR在t+1时刻的估计值是：

对于这种VaR计算方法，可以通过回测检验进行评价，评价引入交易量信息以及价格极差之后的GARCH模型是否提高条件方差估计精度。

（二）在险价值VaR回测

回测检验，也被称为事后检验，即用一段时期的实际损失与预期损失相比较，观察两者是否一致。VaR回测检验可以为各类金融机构的管理者提供关于VaR风险管理系统的信息，可以让管理者发现回测系统存在问题以及可以改进的方向。

目前，在险价值VaR的检验有几种主要的方法：一是指标评价工具，比如MRB均值相对偏差、RMSRB均值平方根相对偏差以及各种变形;二是假设检验工具，如Kupiec[15]经典以及各种特殊条件下的似然比检验;三是比较评价工具，Lopez根据不同需要构造合适的损失函数。本文将价格极差与交易量作为重要的影响因子引入到传统的GARCH模型中，并计算和检验这种改进是否提高了VaR的准确性。因此，在简单GARCH模型与改进后的GARCH模型计算出VaR进行比较时，首先需要考虑的是准确性。所以，本文釆用假设检验工具，利用Kupiec似然比检验法进行回测检验。

参数方法计算VaR值是在确定一个置信水平c的条件下得出的，如果金融资产标的物的收益率落在概率分布中VaR值的右侧，即实际收益小于最大可能遭受的损失VaR值，则认为估计出的在险价值VaR是有效的;如果收益率落在概率分布中VaR的左侧，即实际收益大于最大可能遭受的VaR，那么VaR失效。设样本容量为N，通过对金融资产的每个收益率与VaR预测值进行比较，统计失败的样本数目为n，得出失败的概率P=n/N。在VaR有效的情况下，失败的概率为1-c。Kupiec在统计上对上述问题进行了规范定义，设定原假设为H0：P=P*=1-c，那么备择假设为H1：P≠P*。在样本数目为N的每个样本进行检验时，可以认为每个数据之间是相互独立的，失败（即实际收益率大于最大可能遭受损失）的概率为P，与之相对应成功的概率为1-P。这种检验被看作为服从二项分布的贝努力试验，失败次数为n的概率表示为：

其中，c=1-P*，在原假设是真的情形下，LR服从自由度为1的？字2分布。在给定的样本数N的情况下，VaR失效（即实际收益大于最大可能遭受的VaR）次数n为非拒绝区域。

三、实证分析

（一）数据选取

在计算在险价值VaR时，本文选取了上证综合指数一共2 630数据，其中包含了收盘价、交易量、最高价和最低价，数据源于雅虎财经。

（二）数据处理

在金融实证研究中，一般并不直接对价格序列进行建模，股票市场的收盘价和交易量是一阶单整的，因而釆用取对数的方法对金融资产价格序列的数据进行处理，获得对数收益率，如下所示：

当日最高价减去最低价称之为价格极差，同样也要经过自然对数处理，具体如下式所示：

其中，Pt，h为一天之内最高价，Pt，j是一天之内最低价。从收益率与价格极差的具体计算公式中能够看出，二者在计算形式上具有相似性，都是两个价格自然对数之差。交易量我们为了避免由于政策等一些因素影响，所以将交易量也进行处理。针对中国股市的特点，我们采用交易量增长率Vt，来刻画每日交易量vt的变化：

（三）数据分析

上证综合指数价格指数分析（见图1），上证综合指数价格收益率分析（见下页图2）。从图1和图2中可以概括出收益率的变动具有两个显著特征：一是波动聚集性，即波动具有惯性，较大的波动和较小的波动往往都是成群出现的;二是杠杆效应，也就是股票收益率序列向上波动和向下波动的幅度并不一致。也就是说，股票收益率对市场中的“坏”消息和“好”消息冲击的反应是不同的。

（四）数据统计描述分析

为了对数据的收益率，价格极差与交易量增长率有更直观的认识采用描述统计的方法，从均值、标准差、最大值、最小值、中值、偏度、峰度、J-B统计量等方面對数据进行初步分析（见表1）。

从表1中我们能够看出偏度、峰度与J-B统计量等一些统计数据，也检验了样本数据的正态性。从J-B统计量的P值可以看出，上证综合指数的收益率拒绝了无条件正态分布的原假设。

（四）模型分析

通过阅读文献[16]，用学生t分布作为收益率的条件分布可以得到更好的拟合效果。我们应用GARCH（1，1）模型和改进后的GARCH（1，1）模型，在t分布情况下，进行实证分析（见下页表2）。

从表2中我们可以发现，在t分布情况下，改进后的GARCH（1，1）模型中的系数？坠1+？茁1的值显著减小，传统GARCH模型中？坠1+？茁1的值近似于1，而改进之后的GARCH模型？坠1+？茁1的值远远小于1，交易量和价格极差系数的估计值全部为正。在将交易量和价格极差作为重要影响因子加入条件方差方程中之后，交易量和价格极差对于收益波动持续性表现出良好的解释作用。以AIC和SC最小信息损失准则为评价标准，那么可以看出改进后的GARCH（1，1）模型可以更好地描述上证综合指数的收益率变化情形。

（五）VaR的回测检验

在进行Kupiec似然比检验之前，首先要对两种办法计算出来的VaR与实际收益率相比，计算出失效概率P，具体结果（见表3）。

在与实际的收益率比较中，统计失效次数计算的失效概率都小于0.05，没有超出置信水平，因此可以认为GARCH（1，1）模型与改进后的GARCH（1，1）模型，条件方差拟合良好，预测的在险价值VaR是有效的。

假定对VaR模型有效性检验的置信水平是95，那么根据Kupiec的似然比计算公式，LR近似服从自由度为1的？字2分布，对上证综合指数的失效概率计算对应的似然比。

在置信水平为95%情形下，自由度为1的？字2分布对应的分位数为3.841，改进后的GARCH（1，1）模型的VaR对应的LR都大于3.841，拒绝了原假设。在Kupiec似然比检验法中，备择假设为H1：P≠P*，分为P>P*和P<P*两种情况，因为改进后的GARCH（1，1）模型失效概率均小于1-c（0.05），所以接受备择假设中P<P*情况，即失效概率小于VaR允许的统计概率。

四、结语

本文选取了上证综合指数2 630个数据，利用GARCH模型和引入交易量和价格极差的GARCH模型估计出的条件方差，计算在险价值VaR，经过回测检验，价格极差与交易量作为重要信息引入，降低了VaR失效的概率，使得估计得到的VaR与实际结果更为接近，结果更为理想。

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Abstract：Currently，the GARCH model is widely used in the prediction of the volatility of financial asset sequences and the calculation of VaR at risk and market risk management.According to the characteristics of the stock market，using the method of adding the trading volume and price range difference to the traditional GARCH model to study the Shanghai Composite Index，we found that not only the fitting and forecasting results of some GARCH models can be improved，but also the assets of the underlying financial market.The GARCH effects explanatory ability gradually decreases and even some asset objects GARCH effect disappears directly.Among them，the trading volume and price difference show a good explanation for the persistence of the yield volatility.At the same time，the VaR value of the forward one step prediction is calculated and calculated.The results are backtested.The results show that the VaR value predicted by the improved GARCH model is more accurate than the traditional GARCH model，reducing the probability of VaR failure and making the estimated VaR closer to the actual results.

Key words：multivariate GARCH model;trading volume;price difference;VaR