关于矩阵秩的一个注（1）

卢占化 王景梅

摘 要：一般线性代数教材中是利用矩阵非零子式最高阶数定义矩阵的秩.利用行阶梯型矩阵中首非零元个数定义矩阵的秩是一条新思路.在此基础上讨论矩阵秩的其他一些性质.顺便得出如下结论：两种定义是等价的.这对于深入理解矩阵的秩，以及讨论其他性质也有重要意义.

关键词：行最简阶梯型阵；矩阵的秩；等价标准型

基金项目：河南省教育厅科学与技术研究重点项目（13A110543）；商丘工学院数学团队项目。

关于矩阵秩的定义，大多数教材是按照最高阶非零子式的阶数来定义的.本文运用行最简阶梯型中首非零元的个数来定义矩阵的秩.先通过线性方程组的解讨论行最简阶梯型阵，思路简捷，易于接受.在此基础上进一步讨论矩阵秩的其他性质也较方便。

1 预备知识

定义1 一个阶梯型矩阵首非零元都是1，首非零元所在的列上其它元素全为零，称之为行最简阶梯型阵。

命题1 任一矩阵可以经过初等行变换化为行最简阶梯阵，且它的行最简阶梯型是唯一的。

如果H1的第一列元素全为零，则H2的第一列元素也全为零。不然的话H1不会与H2行等价。如果H1的第i列上元素全为零，H2的第i列上的元素也全为零。假如H1中a12=1，a13=1其他ai3全为零，此时中所有ai3也全为零。否则比如a23=1。对于H2用初等行变换可以将H2的（1，3）位上元变成零。但对于H1来讲，（1，3）位上元变不成零。这便导致H1与H2行等价矛盾。这说明H1的第2行上首非零元与H2的第2行首非零元位置完全一致。他们所在的列上元素也对应相同。并且第二行上首非零元一定在上一行首非零元的右边。

再分析第3行，…，依次类推。的首非零元与的相应行上首非零元的位置完全一致（根据线性方程组的同解性）。并且作为首非零元1的个数也相等。再利用齐次线性方程组同解性可知对于所有的i，j知aij=bij。证毕。

定義2 （标准型） .矩阵diag{1，1，1，0，0}称之为标准型。

命题2 任一个矩阵可经初等变换化为标准型，且标准型是唯一的。

证明 根据矩阵行最简阶梯型的唯一性易知本结论成立。

命题3 对于任一个矩阵A，存在可逆阵P及Q，使PAQ为标准型。

2 矩阵秩的概念和性质

定义3 矩阵的行最简阶梯型中1的个数称之为A的秩（也是它的标准型中1的个数）

性质1 A与AT秩相等。其中AT表示矩阵A的转置矩阵（利用命题2可证。）

性质2 初等行变换不改变矩阵的秩（利用行阶梯形可知）。

性质3 R（A，B）大于或等于R（A）R（A）表示矩阵的秩。

性质4 设W=（A，B）T，则R（W）小于或等于R（A）+R（B）。（利用行最简阶梯型可以证明）。

性质5 （A+B）小于或等于R（A）+R（B）（利用分块阵可证之）。

性质6 R（A+B）≤R（A），R（B）

命题7 若矩阵A中有一个r阶子式不为零，所有r+1阶子式全为零，则R（A）=r，

命题8 若R（A）=r，则A中一定存在r阶子式不为零，所有r+1阶子式全为零.

证明 用反证法。假如A的所有r阶子式全为零，运用行列式的理论可知A的所有r+1阶子式也全为零，…。。，所以A的秩小于r矛盾。因此A中一定存在r阶子式不为零。

第二部分证明也可以用反证法（略）。

参考文献

[1].北京大学数学系几何与代数教研室代数小组高等代数[M]3版.北京：高等教育出版社2011

[2].同济大学数学教研室编线性代数[M]（第六版）北京：高等教育出版社2014

[3].王萼芳编线性代数[M]北京：清华大学出版社2000

[4].卢占化卢俊杰高等代数（考研辅导）[M]金盾出版社2013

[5].卢占化曹林芬关于正定矩阵两个定理河南科技学院学报2013.

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作者简介

王景梅（1981-），硕士，研究方向：代数学。