关于小学四则运算的几点思考

广西师范大学数学与统计学院 伍溪燕

一、四则运算基本定义

人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》四年级下册给出的四则运算定义如下：

1.把两个数合成一个数的运算，叫作加法。相加的两个数叫作加数，加得的数叫作和。

2.已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫作减法。在减法中，已知的和叫作被减数，减法是加法的逆运算。

3.求几个相同加数的和的简便运算，叫作乘法。相乘的两个数叫作因数，乘得的数叫作积。

4.已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫作除法。在除法中，已知的积叫作被除数，除法是乘法的逆运算。

二、关于四则运算的几点思考

1．四则运算中为何要先学加法

人类发展史上，由于物物交换的需要，人们把交换双方的物品一一对应排列好，久而久之，人们便意识到舍弃物品的物理属性后，物品依然有共同的属性，即“数”，数的产生与形成是数学史的开端，其对人类文明的发展起到了非常重要的作用。认知的历史发生原理表明个体知识的发生过程遵循人类知识的发生过程。迁移到数学领域，就是说个体要学习数学，应该以认识与学习“数”为开端。研读小学教材发现，学生学习数学的确以学习“数”为开端，并且是借助现实生活中的物体，由物抽象出“数”，再现了数学史上“数”的产生。研读人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》一年级上册发现，学生认识“数”，是借助直观的物，由物抽象出数，先认识1～5，接着以生活场景为例介绍“分与合”，先学1～5的分与合，再学1～5的加与减。先学分，再学合，照此推断应该可以先学减法，再学加法，可事实却非如此。因为教材中看似先学“分”，实际上先学的依然是“合”。

上文中所说的“数”是我们现在称之为“自然数”的数，而自然数的产生是加法思想萌芽的前奏。由“物”抽象出“数”，物越多，数越大，物是从无到有，从少到多，只有最少的“无”，而无最多的具体数量。也即有最小的自然数，而无最大的自然数。由“1”加“1”可得到“2”，“1”加“1”再加“1”可得“3”，以此类推可得到任何自然数。但因为自然数的个数有无穷多个，所以找不到最大的自然数，然后减“1”，一个个减而得到剩余的自然数。学生学习数学要先学习“数”，而“数”的认识中已蕴含了加法思想，自然数个数的无穷性决定了“数”的认识中不可能由减法开始，所以四则运算中先学加法，后学减法是必然的。

2．除法的定义中是否有必要体现“平均分”

用乘法的逆运算定义除法，可借助表内乘法口诀方便求解表内除法运算，于计算带来了很大的便利，却也同时遮住了除法的本质。在人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》二年级下册“除法的初步认识”中，以“将6颗糖分成3份，有三种分法，其中，2，2，2为平均分”来引导学生认识除法，即除法的现实基础是平均分。用乘法的逆运算定义除法，未能直接体现“平均分”这一本质。相比于用“平均分”来定义除法，其加深了除法的抽象程度，并不利于低年级学生理解与学习除法。但若只是用“平均分”来定义除法，则会给计算带来很大的困难。因此，是否可以考虑用“平均分”来定义除法的同时挖掘除法与乘法的联系？比如，把除法定义为“把一个数平均分成几个数的运算”或者“把一个数分成几个相同数的简便运算”，乘法是求几个相同加数的和的简便运算，也即是把几个相同的数合成一个数的运算，而若按前面所说，除法是“把一个数分成几个相同数的简便运算”，则乘、除法依然互为逆运算，依旧可借助表内乘法求解表内除法运算，既能体现除法本质，又便于计算。

3．除法的定义中是否需要体现与减法的联系

在人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》四年级下册给出四则运算定义前，小学生学习减法都是以“分”为基础，除法的本质是“平均分”，是特殊的“分”，也即除法是特殊的减法。乘法的定义是求几个相同加数的和的简便运算，减法是加法的逆运算，用乘法的逆运算定义除法，除法与减法仍有联系，但却未能很好地体现出除法是“特殊的减法”这一点。除法与减法的这种联系对教学来说是重要的，比如除法竖式的演变，减法竖式可能是最早的源头之一，比如21÷7=3的罗马数字竖式如图1所示，除法竖式是小学最难理解的内容之一，相比传统教学，换种角度，以减法来促进对除法的理解，可能会事半功倍。

图1

四则运算是数学计算的基础，在数学教学中占有重要地位，通过对小学课本的研读、对相关资料的查阅，提出有关四则运算的几点不成熟的思考，分别是对四则运算中为何先学加法的思考，对除法定义的有关思考等。期望通过思考，加深对四则运算的理解，更好地指导教学。