以一题多解为载体，巧学活学高等数学

马君儿 李东明

【摘要】在高等数学课程教学中，通过一题多解范例的讲解，一方面加深学生对数学学科中相关概念、定理、性质的清晰理解，及应用数学知识的综合能力。另一方面，培养学生不拘一格的多样化思维能力，为社会输送具有较强综合应用能力的合格毕业生。

【关键词】高等数学  一题多解  多样化思维

高等数学作为本科院校工科类各专业一门重要的基础课，一方面，使学生系统地获得数学的基本知识、必要的基础理论和常用的微积分计算方法，为学生学习后续专业课程打下扎实的理论基础。另一方面，为了适应高信息化时代的发展要求，通過高等数学课程的系统学习，培养学生比较熟练的运算能力、严密的抽象思维能力与逻辑推理能力，创建学生广开思路、灵活多样的思维模式，养成不拘一格、善于思考的良好习惯，激发出学生创新求异的动能。因此，教师在高等数学课程的教学实施中，应适时讲解一些一题多解的范例，从不同角度出发，运用相应的数学技巧，层层分析透彻，培养学生灵巧的解题方法。使学生更深地理解相关的数学定义与定理，进而提高学生分析问题、解决问题的多样化思维能力，克服今后在社会工作中用单一性思维考虑问题的弊端。

下面列举《高等数学》中一题多解的三个例题，内容主要涉及空间解析几何、多元函数微分学在几何中的应用、无穷级数等。

在高等数学中，属一题多解的例题还有很多，如：（一）“证明某方程有实根”的题，既可用连续函数的零点存在定理来证明，也可以通过构造辅助函数，再用微分中值定理：罗尔中值定理来证明。（二）“证明某不等式成立”，既可考虑用函数的单调性，也可将问题转化为“求函数的极值”来间接证明。当然简单的不等式，甚至可用逆推法快速证明。（三）“利用定积分，求平面图形绕坐标轴旋转一周的旋转体体积”时，如“求由y=-x（x-2）与x轴所围成的图形绕y轴旋转一周的旋转体体积”，既可取y为积分变量，用“切片法”求出两个旋转体的体积，再相减，得所求的立体体积。也可取X为积分变量，用“薄壳法”直接求出旋转体的体积。等等。

总而言之，学生在高等数学的学习过程中，应多动脑筋，举一反三，常用多种思路、多种方法来训练自己，那么日积月累，既强化了数学的演算能力与逻辑推理能力，又提高了数学的综合应用能力，也为今后走向社会培养了良好的创新能力。

参考文献：

[1]同济大学数学系编，高等数学（上、下册）（第七版）[M]，北京：高等教育出版社，2014.

[2同济大学数学系编，高等数学习题全解指南（上、下册）（第六版）[M]，北京：高等教育出版社，2010.

作者简介：马君儿（1965-），女，职称：副教授，主要从事高等数学教学。