Markov链利率离散时间比例再保险模型的破产问题

古再丽努尔·阿布都卡地尔， 俞天银， 徐茂伟， 郭峰， 李婷

新疆农业大学数理学院， 新疆 乌鲁木齐 830052

0 引言

破产概率是度量风险的一个重要指标，而再保险是保险公司为了降低破产风险而把部分甚至是全部风险转移给其他一个或几个保险公司的保险行为.因此研究再保险对破产概率的影响成为现代保险学业中的热点问题之一.对于离散时间再保险模型，文献[1]研究了两种保费定价原则下的再保险,给出了定价方式对于自留水平因素的影响.文献[2]研究了带干扰因素的比例再保险模型的破产概率问题,利用鞅方法,得出破产概率的具体表达式.文献[3]研究了带随机利率的离散时间比例再保险模型,并用递推方法和数学归纳法，得到了几个破产指标所满足的微分积分方程.文献[4]研究了MA(1)利率离散时间比例再保险模型,并用全概率公式和递归方法，得到了破产概率所满足的微分积分方程.

本文是在文献[3]的基础上，考虑利率为取值于可数状态空间的齐次Markov链形式的比例再保险形式,利用递归更新技巧和全概率公式法,得到了破产前盈余和破产后赤字的联合分布所满足的微积分方程,作为推论给出了破产前盈余分布破产后赤字的分布,以及破产概率所满足的积分方程.

1 模型描述

考虑如下的离散时间比例再保险模型[4]：

Un=Un-1(1+Rn)+C(bn-1)-h(bn-1,Yn)n=1,2,…

(1)

其中，{Un;n≥1}为保险公司的盈余;U0=u为保险公司的初始准备金;b为自留额比例;bn表示保险公司第n期的自留额比例；C(bn)表示第n期收取的保费收入；{Yn;n≥1} 表示在(n-1,n)时间段内的理赔额；{Rn;n≥1}表示第n时期的利率,是负随机变量序列；{Yn;n≥1},{Rn;n≥1}均为相互独立的且服从同样分布的非负随机变量序列.

在本文我们假设第n期的利率Rn服从一个齐次Markov链，且取值为可数的，即

Rn={r0,r1,r2,…|rn≥0,n=0,1,2,…}

对任意n=1,2,…，任意状态rs,rt,rt0,rt1,…,rtn-1,则有

P{Rn+1=rt|Rn=rs,Rn-1=rtn-1,…,R1=rt1,R0=rt0}

=P{Rn+1=rt|Rn=rs}=pst≥0s,t=0,1,2,…

其中

令

bn=bh(b,y)=byh(b,y)∈(0,y)

则y-h(b,y)是由再保险公司支付的索赔额的一部分.

定义破产概率为

其中

T=inf{n≥0;Un<0}

为破产时刻.

定义破产赤字的分布为

φ(u,q,rs)=P{|UT|≤q{|U0=u,R0=rs}

破产前盈余的分布为

F(u,p,rs)=P{UT-≤p|U0=u,R0=rs}

以及它们的联合分布为

H(u,p,q,rs)=P{UT-≤p,|UT|≤q|U0=u,R0=rs}

其中,p,q为正常数.下面讨论Markov链利率比例再保险模型情况下，上述定义的保险公司最感兴趣的几个破产指标所满足的方程.

2 主要结果及证明

将(1)式整理可得

(2)

(3)

首先我们考虑破产前盈余和破产后赤字的联合分布.为此,我们考虑函数

H1(u,p,q,rs)=P{UT≤-q,UT-≥p,T<∞|U0=u,R0=rs}

定理在前述假设条件下,H1(u,p,q,rs)满足下面的方程:

(1)当p≤u时,有

(4)

(2)当p>u时，有

(5)

证明 由H1(u,p,q,r0)的定义，有

H1(u,p,q,rs)

h1(u,p,q,rs)

h2(u,p,q,rs)

因为u(1+rt)-pu(1+rt)-s,由H1(u,p,q,r0)的定义第二式为0.所以

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h3(u,p,q,r0)

P{R1=rt|R0=rs}

以此类推得,对任意n≥2有

综上所述,有

(1)当p≤u时,有

H1(u,p,q,rs)

(2)当p>u时，有

H1(u,p,q,rs)

即得(5)式成立.证毕.

推论1 由F(u,p,rs)的定义,有

F(u,p,rs) =ψ(u,rs)-P{UT->p,T<∞|U0

=u,R0=rs}∶=ψ(u,rs)-F1(u,p,rs)

则当p≤u时,在(4)式中令q=0,得

当p>u时,在(5)式中令q=0,得

推论2 由φ(u,q,rs)的定义，有

φ(u,q,rs) =ψ(u,rs)-P{UT<-q,|U0=u,R0=rs}∶=ψ(u,rs)-φ(u,q,rs)

则在(5)式中令p=0得

推论3 在(4)式中令p=0,q=0得最终破产概率满足方程

3 总结

综上所述，在离散时间比例再保险模型中的利率不是常数，而具有马氏利率的情况，这一特征使模型更有现实意义.从本文所讨论的模型下得出的关于各个破产指标所满足的微积分方程可知,只要知道随机变量W和R的分布函数，就可以利用递推公式得到保险公司的各个破产指标.