差异：具象与抽象的较量———三年级学生数量感知差异的成因剖析

强震球（特级教师） 张纯曦

研究表明，学生在学习数学知识的时候，首先是对数学学习对象的“感知”。小学生在数学学习中接触到数学材料时，“感知”往往就会自发地产生。“感知”是数学学习材料与人的思维中已有的材料相互碰撞、缠绕、结合而得出结果的过程，新的学习材料引起大脑中感知区域的细胞的兴奋，促使大脑对学习材料进行加工、抽象等思维活动。小学阶段的学习中，核心的数学学习对象之一就是数量（包括数量关系）。

本文所说的“数量”是基于小学数学教学层面而言的，是“数”与“量”结合而成的一个整体。“数量”用“数shù”来计数，用“量liàng”来区分。它用数（shǔ）的方式来定量，用数(shù)来表示测量所得的结果，用事物的多少、大小、长短、高低、轻重等来定性区别，最终形成对事物客观属性的一个整体认识。

一、三年级学生的数量感知：缺乏整体性的建构

三年级学生正处于由具象思维向抽象思维过渡的阶段，由于个体数学学习方式、思维水平和抽象能力的差异，导致学生的数量感知出现明显的差异。

例如，教学苏教版三年级下册《面积单位的认识》时：

首先，教师准备了1 平方厘米、1 平方分米、1 平方米的正方形卡纸，让学生感知它们的实际大小。

接着，教师还组织了一系列体验活动：一是用多个1 平方厘米的小正方形去量一量橡皮的一个面的面积（大约6 平方厘米）。二是用1 平方分米的小正方形去量一量课桌面的面积（大约24 平方分米）。三是把1 平方米的正方形卡纸与窗户、黑板的面进行比较（大于1 平方米）。

最后，在选择合适的单位名称的练习中，却出现了这样“离谱”的答案：书桌的面积是50（平方厘米），花坛的面积是10（平方分米）。

为什么会出现这么不靠谱的答案？笔者认为有以下原因：

1.“数”感根深蒂固，“量”感浮于表面。

苏教版教材把万以内数的认识全部编排在一二年级学完。尽管从知识体系来说，这样编排更方便学生自主构建数的认知结构，但是因为学生生活经验的缺失，对于数的大小，尤其是大数（万以内的数）的大小感知是模糊的。而三年级的数学教材并未再涉及比万更大的数，于是学生对于万以内数的大小感知，仅仅停留在二年级的水平。

基于这样的认知水平，当三年级学生初次接触到面积单位时，自然而然地把关注点放在了“数”上。50、10 这两个数对三年级学生来说是个强刺激，与他们刚刚接触的1 平方米、1 平方分米、1 平方厘米中的数字1 相比，50、10 这两个数已经够大了，所以不需要用“平方米”作单位。同时，面对面积单位的选择，学生的直觉是：花坛是比较大的，用“平方厘米”也不合适，所以自然选择“平方分米”。由此看出，三年级的学生在进行数量感知时，过于偏重数的大小，缺乏量的感知。

2.“数”与“量”貌合神离，感知趋于单向。

三年级的学生，注意力容易分散，思维呈现单一、单向的特点，容易将“数”与“量”割裂开来感知，“数”与“量”就如两条平行线，无法融合成“数量”。这种数量的感知好比单向的行进，缺少回转、交错，学生整体的把握和反思的能力较差。

上述案例中，学生割裂地将数（50、10）和面积单位进行分析、取舍之后，将数和面积单位拼凑起来，就觉得已经大功告成了，并没有将数与量结合成一个整体来进一步分析，更没有回过头想一想书桌的面积用50 平方厘米是否合适。如此看来，三年级学生对于数量整体的认知和把握是模糊的，究竟50 平方分米有多大？50平方米又有多大？对于刚刚接触面积单位的学生来说，在他们的知识储备里，50 平方分米或50平方米是十分抽象的数量，它的大小、形状是不固定的，没有标准，也不能通过计算获得。

3.数量与“形”链接困难，空间观念缺乏。

三年级学生的空间观念虽说正处在一个不断发展提升的阶段，但由于对于图形的认识还不充分，更多时候依赖的是“直觉”、“感觉”，说不清道不明，很多学生对于数量的感知只能达到基于生活经验的原生态水平。

学生对于1 平方厘米、1 平方分米、1 平方米的认识，教材是以单位正方形面积的大小规定的：边长是1 厘米、1 分米、1 米的正方形的面积是1 平方厘米、1平方分米、1 平方米。但是现实生活中，很多物体的面并非是正方形的，就像案例中书桌的面、花坛的面都不是正方形。那么，学生首先对于这些物体的面的形状就无法把握。其次，要让学生抽象出50 平方分米这个数量究竟多大，没有了“形”的支持，脱离了直观的依托，学生的确无从下手。

4.数量间的“进率”断层，思考受到阻碍。

三年级学生对数量单位之间的进率是模糊的，并且利用进率进行抽象换算的能力是不强的。尤其在第一课时初步认识面积单位的基础上，就要选择合适的单位名称，学生对面积单位的感知不到位，也无法利用进率进行简单的换算，这就为单位选择和辨析增加了障碍。

案例中，学生重点要认识1平方厘米、1 平方分米、1 平方米这三个单位数量。课堂上教师花了大量的时间，让学生识记这些单位数量（仅仅能达到初步识记的水平）。但是对于平方厘米和平方分米之间的关系一无所知（教材要在后续的教学中才涉及）。试想，如果学生知道100 平方厘米=1 平方分米，100 平方分米=1平方米，那么书桌的面积是50 平方厘米，他就能换算成平方分米，也就会发现书桌的面积连1 平方分米都不满，那显然是不合理的。再如，花坛的面积是10 平方分米，换算成平方米，就是1 平方米都不满，只有0.1 平方米，那么他们就肯定不会选择这么离谱的答案了。

二、三年级学生数量感知差异的成因剖析：具象和抽象的脱节

数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理和模型，其中抽象是最核心的。现在人们对于抽象的理解主要分为两种：一是用来形容那种远离具体经验，不太容易理解的对象性质的程度；二是指从具体事物中舍弃非本质属性而抽取本质属性的过程和方法。

三年级学生在学习数学的过程中，具象思维占主导，对数学知识的学习，常常需要借助形象、直观的图形、实物等。具象思维需要以具体的形象、语言、符号等为媒介，对事物进行具体化过程，进而实现对事物的创造性的认识和反映。

1.具象和抽象之间缺少反复的回流。

抽象之所以成为数学学习的拦路虎，是因为它脱离儿童的具体经验，儿童思维的特点和生活经验的局限性，决定了小学数学教学要遵循从直观到抽象的原则，但又不能仅仅局限于从直观到抽象这种单向的教学，更应重视从抽象回归直观的过程。具象和抽象之间需要多次的反复的交融，这种交融是双向的流淌，既有从具体到抽象，也有从抽象到具体的回流。

三年级学生正处于由具象思维慢慢向抽象思维过渡的阶段，具象思维占绝对上风，抽象思维正慢慢形成。但是，抽象思维的形成必须借助具象的反复积淀，只有对具体的形象不断感知、反复印刻，最终形成良好的表象，才能更好地进行抽象。

（1）具象表征不确切。

表征不确切，指的是信息在头脑中的呈现方式不适合数学知识的本质属性，无法清晰地呈现事物的表象。

在数量的学习过程中，长度、面积和质量都是可以借助图形、物体来感受的，利用视觉、触觉感官可以直接或者间接感知。但是间接的感知，往往会带来它的负面影响，引起表征的不正确、不适当。

比如，认识质量单位克和千克时，学生对于1 克的感知，可以借助固体的，也可以借助液体的质量，可以直接用手掂一掂，也可以通过数黄豆的粒数来间接感知。感知1 千克多重时，又可以通过不同的水果、禽蛋等的数量，来间接地感知1 千克的质量。但是，上述感知过程中将1 克、1 千克的质量转化成物体的数量上，而且由于这些物体的大小不同，不同的物体转化后的数量又不一，这就容易造成1 克、1 千克标准的混乱，那么学生对1 克、1 千克的感知就会在思维上模糊。

（2）抽象提取绝对化。

直观描述的毛病是会引起悖论，因为凡是具体的东西，都能举出反例。为了避免引起这些，就必须进一步抽象，抽象到举不出反例来，这只有通过符号表达，但符号表达也有问题，就是缺少物体背景，缺少直观。正因为如此，在三年级的数学教学中，部分教师过分注重抽象思维的锻炼，这就带来了抽象提取的绝对化：教师常期望通过一次的教学，学生就能一次抽象，把握数学对象的本质属性。这是不符合三年级学生的认知规律和认知特点的，这样抽象得到的数学知识是“虚”的，缺乏持久性。例如，认识千克时，在有限的时间内，教师安排让学生反复地通过水果、禽蛋等的数量来加深对1 千克的认识，课后更要经常性地掂、拿、托身边常见的一些物品，以此来感受几千克有多重。

2.感性的直觉缺少理性的思辨。

一二年级学生的数学学习，很大程度上依赖于“直觉”，常常是跟着“感觉”走，缺乏理性地观察、比较、类比、转化、辨析、反思等，学习数学的方式比较单一。三年级的学生刚刚进入中年级，依然处于数学方法比较单一的程度，综合运用数学方法的能力比较薄弱。

（1）对比缺乏自发性。

对比，是把在某一方面具有明显差异的双方，进行对照、比较的一种方法。通过对比，能把某个数学知识的本质特征抽取出来，对于比较容易混淆的知识点能清晰地进行辨析，加深对数学知识的感知。但是，三年级学生不善于在学习中运用对比，对于数量的感知仅仅关注于数本身，呈直线型的思考和感知。即使学习中用上了对比，那也是被动的，缺乏自发性。

例如，教学认识千米的时候，教材就特意安排了这样的一个练习题（见图），4 种物体的速度同时呈现，主要由数的大小展开对比，分析、提取出四种速度的快慢程度，在这样的对比中，展开思辨、分析，有利于学生合理地选择，也对题中4 个数量的大小进行深入的感知。可是，三年级学生在选择连线时，更多关注的是下面4 个数量本身的纵向感知，被动地展开横向的比较。

（2）转化缺少灵活性。

数学中的转化，常常是指将复杂的知识转变成简单的知识，将未知的知识变化成已知的知识。通过转化，可以更加全方位地感知数量，可以用数来描述，可以用形来表征，可以用另一个数量来对比……进而抽取出数量的本质属性。然而，由于三年级的学生数学学习方法的缺乏，导致他们运用转化来理解数学知识是欠缺灵活性的。

例如，教学千米的认识时，教材就安排学生先感知100 米有多长，再通过沟通知道1 千米就是10 个100 米，在视觉的基础上想象，获得间接的感知。把1 千米转化成10 个100 米来分层体验，便于学生感知更深刻。教材不仅安排了这样的感知，更是安排了1 千米的实际体验，通过把1 千米转化成走1 千米所用的时间、走的步数，进行多角度、多维度的感知。

3.数学的抽象缺少现实的回归。

小学阶段的抽象主要体现在抽象的第一个层次，其研究对象和关系基本上是“现实”的抽象，基本不脱离物理背景。数学知识和生活体验的相互缠绕、依附，才能让学生把所学到的东西更深刻地体验、感知，并深深地印在脑海中。三年级的数学学习内容明显增多，思维要求更高，知识更趋向于抽象。对于学生来说，在有限的数学课堂学习时间内，他要掌握的东西已经逐渐超越了生活中的经验，数学课渐渐披上了抽象的外衣，课堂上对于数学知识的体验，往往就成了数学课的专属体验，渐渐失去了生活的意义。

例如，认识千米时，安排学生体验1 千米：走一走，1 千米大约需要多少步？大约需要多少时间？看一看，1 千米有多长？从你家出发，到哪里是1 千米？再如，教学千克和克时，安排学生多次走进超市、菜场，掂一掂1 千克有多重，了解哪些商品是1 千克或几千克；拎一拎，妈妈买的菜是几千克；抱一抱身边的同学、家里的大米等。认识面积单位后，让学生了解教室、自己房间的面积，走一走，感受面积的大小。

综上所述，小学三年级学生对数量的感知比较模糊、缺乏整体性，那么如何在教学中有效引导学生对“量”进行整体性把握，就成了教师需要积极思考的问题。怎样促进具象和形象之间的回流，怎样引导学生进行理性的思辨，怎样让数学与现实挂钩、与生活关联，还需要我们不断地进行教学实践和探索，努力找到更多、更好的策略。