巧用“二级推论”速解高考物理试题

郭建勋

[摘   要]二级推论是指利用现行教材中的公式规律，在特定的任务情境中推导出来的一组物理经验或物理关系。笔者应用二级推论求解若干2018年高考理综物理题，确实收到很好的效果。但仔细思量，若置二级推论的适用条件不顾而妄自套用，是容易出错的。

[关键词]高考;物理试题;二级推论

[中图分类号]    G633.7        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）02-0031-04

二级推论是指在某些特定的物理情境中运用基本定理推理得出的一些结论或规律，按照其性质可以分为经验型和公式型两种。下面以2018年高考理综物理题为例，谈谈二级推论的应用和扩展。

一、经验型二级推论

1.楞次定律的“增反减同”

【表述】当引起感应电流的磁通量增加时，感应电流的磁场与引起感应电流的磁场方向相反;当引起感应电流的磁通量减少时，感应电流的磁场与引起感应电流的磁场方向相同。

【原理】楞次定律“感应电流的磁场总要阻碍引起感应电流的磁通量的变化”。

【例1】（2018年全国Ⅰ卷第19题）如图1，两个线圈绕在同一根铁芯上，其中一线圈通过开关与电源连接，另一线圈与远处沿南北方向水平放置在纸面内的直导线连接成回路。将一小磁针悬挂在直导线正上方，开关未闭合时小磁针处于静止状态。下列说法正确的是（     ）。

A.开关闭合后的瞬间，小磁针的N极朝垂直纸面向里的方向转动

B.开关闭合并保持一段时间后，小磁针的N极指向垂直纸面向里的方向

C.开关闭合并保持一段时间后，小磁针的N极指向垂直纸面向外的方向

D.开关闭合并保持一段时间再断开后的瞬间，小磁针的N极朝垂直纸面向外的方向转动

解析：答案选AD。右侧线圈的开关闭合后瞬间，在左侧线圈内部产生了水平向右的磁场，同时引起该磁通量增大，根据“增反减同”可知感应电流的磁场方向水平向左。利用安培定则可判断直导线电流方向由南到北，进而得出小磁针处的磁场方向垂直纸面向里，即小磁针的N极朝垂直纸面向里的方向转动，故A正确。同理可得选项D也正确。而BC选项错误的原因在于左侧线圈中磁通量不变，直導线中电流为零，故小磁针恢复到原来状态。

【拓展1】电流的“增反减同”：当引起感应电流的原电流增加时，感应电流的方向与原电流的方向相反;当引起感应电流的原电流减少时，感应电流的方向与原电流的方向相同。在例1中，右侧线圈的开关闭合的瞬间，该线圈的原电流增加，从左往右看为顺时针方向。根据电流的“增反减同”可知左侧线圈中的感应电流方向为逆时针（从左往右看），最后得出小磁针N极的运动情况。

【拓展2】如图2，虚线圆形区域内存在一电场，方向垂直于纸面向内。若该电场的电场强度E增加时，则电场区域外实线圆周上的Q点的磁场方向为（    ） 。

A.垂直纸面向里

B.垂直纸面向外

C.在纸面内向上

D.在纸面内向下

解析：如果直接应用推论“增反减同”，则轻易得到答案C，但本题的正确答案为D。

图2中场强E的增加可以等效为平行板电容器的充电过程，如图3所示。

根据麦克斯韦的电磁场理论，设充电过程中导线的传导电流为[I]，极板间的位移电流为[ID]。传导电流是由于自由电荷的定向移动产生的，而位移电流是指穿过某曲面的电位移通量的时间变化率，是由变化的电场产生的，并且两者在产生磁场上是等效的。设电位移通量为[ΦD]，真空介电常数为[ε0]，板间的场强为[E]，板的面积为[S]。由于电容器为真空，则：[ΦD=Sε0E]。电位移通量对时间求导，得位移电流：[ID=dΦDdt=Sε0dEdt]。因为题中条件[E]随时间增加，即[dEdt>0]，所以[dEdt]的方向与[E]的方向相同，即[ID]与[E]同向。由图3看出传导电流为[I]与E同向，综合以上可得[ID]和[I]方向相同，均为垂直纸面向里。根据安培定则可判断图2中Q点的磁场方向为“在纸面内向下”。

点评： 楞次定律作为电磁学的重要定律，在历年高考试题中屡见不鲜。而“增反减同”作为楞次定律的二级推论，准确应用可以绕过一些复杂的障碍，从而提高解题速度。例题1实际上是一个变压器的模型，通过“增反”的阻碍作用实现“互感”现象。扩展1的“电流增反减同”是“磁场增反减同”的升级版，它绕过了磁场方向和磁通量变化等问题，直接实现原电流与感应电流的对接，方便快捷。扩展2是“变化的电场产生磁场”，不同于例1和扩展1的“变化的磁场产生电场”，因此“增反减同”的规律不再适用。其实根据麦克斯韦电磁理论的方程：

[E?dl=-dΦBdt……]①

[B?dl=μ0ε0dΦEdt……]②

可知，方程①是表示“变化的磁场产生电场”，因含有负号，因此可用“增反减同”解释;方程②是表示“变化的电场产生磁场”，因为没有负号，因此应为“增同减反”。

2.电学实验的“内大外小”

【表述】利用伏安法测电阻，设待测电阻为[Rx]，电压表内阻为[RV]，电流表内阻为[RA]。内大：当[Rx>RARV]时，选用电流表内接法，测量值比真实值偏大;外小：当[Rx<RARV]时，选用电流表外接法，测量值比真实值偏小。

【原理】无论采用内接法或外接法，测量结果都有系统误差。内接法的误差在于电流表的分压，故当待测电阻远大于安培表内阻时，采用此法误差较小;外接法的误差在于电压表的分流，故当待测电阻远小于电压表内阻时，采用此法误差较小。

【例2】（2018年天津卷第9题）某同学用伏安法测定待测电阻Rx的阻值（约为10 kΩ），除了Rx，开关S、导线外，还有下列器材供选用：

A.电压表（量程0～1 V，内阻约为10 kΩ）

B.电压表（量程0～10 V，内阻约为100 kΩ）

C.电流表（0～1 mA，内阻约为30 Ω）

D.电流表（0～0.6 A，内阻约为0.05 Ω）

E.电源（电动势1.5 V，额定电流0.5 A，内阻不计）

F.电源（电动势12 V，额定电流2 A，内阻不计）

G.滑动变阻器R0（阻值范围0～10 Ω，额定电流2 A）

①为使测量尽量准确，电压表选用_________，电流表选用______________，电源选用______________。（均填器材的字母代号）

②画出测量Rx阻值的实验电路图。

③该同学选择器材、连接电路和操作均正确，从实验原理上看，待测电阻测量值会_____________其真实值（填“大于”“小于”或“等于”），原因是 。

解析：答案① B，C，F;②电路图如图4所示;③大于;电压表的读数大于待测电阻两端实际电压（其他正确表述也可）。

把[Rx≈10 kΩ]，[RV≈100 kΩ]，[RA≈0.03 kΩ]代入，得[Rx>RARV]，故选用电流表内接法，测量值比真实值偏大。其他答案解析略。

【拓展】 如上述例2中供选器材，B.电压表“内阻约为100 kΩ”改为“内阻等于100 kΩ”，其余条件不变。

①为使测量准确，电流表采用__________（内接、外接） 法，待测电阻测量值__________其真实值（填“大于”“小于”或“等于”）。

②若电压表的读数为U，内阻为RV，电流表的读数为[I]，求待测电阻阻值的表达式Rx =__________。

解析：如果直接应用“内大外小”的推论，答案为“内接法、大于”。但本题的正确答案为“外接法、等于”。

由于电压表的内阻已知，即因电压表引起分流的电流值可以准确算出来，故采用安培表外接法，测量值等于真实值，如图5所示。根据题中已知条件，可求得Rx 表达式：[Rx=UI-URV=URVIRV-U]。

点评： 电流表内接法、外接法的判断以及误差分析是高考电学实验的重要考点。教学中通常采用“阻值比较（内大外小）”和“试触”两种方法进行处理。例2中由于给出了[Rx、RV、RA]的粗略值，所以采用“内大外小”的阻值比较法较为方便。扩展题利用“直接给出的电压表内阻”来消除实验的系统误差，再利用串并联电路的规律把待测电阻的真实值求出来，从而加深了学生对“内大外小”应用条件的理解，以防盲目套用。

二、公式型二级推论

1.电磁感应中的[q=ΔΦR总]

【表述】对于总电阻为[R总]的闭合回路，某段时间内回路的磁通量变化量为[ΔΦ]，则在这段时间内通过该回路的电量为[q=ΔΦR总]。

【原理】设[Δt]内闭合回路产生的平均电动势为[E]，则有：[q=IΔt]，[I=ER总]，[E=ΔΦΔt]，由以上三式可求得：[q=ΔΦR总]。

【例3】（2018年全国Ⅰ卷第17题）如图6，导体轨道OPQS固定，其中PQS是半圆弧，Q为半圆弧的中心，O为圆心。轨道的电阻忽略不计。OM是有一定电阻可绕O转动的金属杆。M端位于PQS上，OM与轨道接触良好。空间存在垂直半圆所在平面的匀强磁场，磁感应强度的大小为B，现使OQ位置以恒定的角速度逆时针转到OS位置并固定（过程Ⅰ）;再使磁感应强度的大小以一定的变化率从B增加到B'（过程Ⅱ）。在过程Ⅰ、Ⅱ中，流过OM的电荷量相等，则[B'B]等于（     ）。

A.[54]           B.[32]

C.[74]           D.2

解析：答案选B。设圆弧的半径为r，OM的电阻为R。过程Ⅰ：回路的磁通量变化量[ΔΦ1=Bπr24]，流过OM的电荷量[q1=ΔΦ1R];过程Ⅱ：回路的磁通量变化量[ΔΦ2=（B'-B）πr22]，流过OM的电荷量[q2=ΔΦ2R]，且[q1=q2]。由以上各式可求得：[B'B=32]。

【拓展1】如图7，闭合半圆轨道SOPQS固定，其中半径OP、OS的电阻均为R，OM的电阻也为R，轨道的其余电阻忽略不计，其他条件如例3。求在过程Ⅰ中，通过OP的电荷量。

解析：过程Ⅰ，OM等效为电源，外电阻OP与OS并联，所以回路的总电阻[R总=R+R2=32R]。回路磁通量的变化量[ΔΦ=Bπr24]，流过OM的电荷量[q1=ΔΦR总]，流过OP的电荷量[q2=q12]，由以上各式可求得：[q2=Bπr212R]。

【拓展2】（2011年上海高考第23题的改编题）如图8，宽度L=0.5 m的光滑金属框架MNPQ固定在水平面内，并处在磁感应强度大小B=0.4T，方向竖直向下的匀强磁场中，框架的电阻非均匀分布。将质量m=0.1 kg，電阻可忽略的金属棒ab放置在框架上，并与框架接触良好。金属棒以v0=2 m/s的初速度，向左做匀减速直线运动，其加速度大小为a=2 m/s2，运动中金属棒仅受安培力作用，已知框架中aNPb部分的电阻R随金属棒ab的位移x变化的函数关系式为[R=0.4x（Ω）]。求金属棒ab运动0.4 s的过程中通过ab的电量q。

错解：金属棒0.4 s内的位移[x=v0t-12at2]，aNPb部分的电阻[R=0.4x]，0.4 s内回路磁通量的变化量[ΔΦ=BLx]，流过棒ab的电荷量[q=ΔΦR]，由以上各式可求得：[q=0.49 C]。

正解：0.4 s内流过棒ab的电荷量[q=It]，且[BIL=ma]，由以上两式可求得：[q=maBLt=0.4（C）]。

点评： 应用 [q=ΔΦR总]解题的便捷之处在于避开了复杂的中间过程，直接用磁通量变化量与回路总电阻的比值来求电荷量。但应用此推论时，必须要注意两点：①推论中的q是指通过干路的电荷量，不是支路的电荷量，扩展1中，半径OP属于支路，因此必须按照并联电路的规律进行分配;②推论中的R总要求为一定值，但从扩展2中可知，电阻R随着金属棒的滑动而发生变化，所以不能用此推论。

2.平抛运动的[tanθ=2tanβ]

【表述】在平抛运动中，速度偏向角[θ]（速度与初速度的夹角）的正切值，是位移偏向角[β]（位移与水平位移的夹角）的正切值的2倍。

【原理】  如图9，[tanθ=vyv0=gtv0] ，[tanβ=yx=gt2/2v0t=12gtv0]，由以上二式得：[tanθ=2tanβ]。

【例4】（2018年全国Ⅰ卷第25题）如图10，在y >0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场，场强大小为E，在y < 0的区域存在方向垂直于xOy平面向外的匀强磁场。一个氕核[11H]和一个氘核[21H]先后从y轴上[y=h]点以相同的动能射出，速度方向沿x轴正方向。已知[11H]进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夾角为60°，并从坐标原点O处第一次射出磁场。[11H]的质量为m ，电荷量为q ，不计重力。求：

（1） [11H]第一次进入磁场的位置到原点O的距离;

（2） 磁场的磁感应强度大小;

（3） [21H]第一次离开磁场的位置到原点O的距离。

解析：（1）[11H]在电场中做类平抛运动，如图11，连接[11H]在电场中的入射点和出射点，该连线与[11H]在电场中的水平位移[x0]的夹角为β，根据推论可得：[tanθ=2tanβ]，由几何关系知 [tanβ=hx0]。联合以上二式解得：[x0=233h]。

（2）、（3）问略。

【拓展】若对[11H]施加一沿正x轴方向的恒力F，[11H]进入磁场时，速度方向与x轴正方向的夹角为θ，其他条件不变，求[11H]第一次进入磁场的位置到原点O的距离。

错解：由于[11H]在电场中做类平抛运动，如图12，由于[tanθ=2tanβ]，[tanβ=hx0]，解得：[x0=233h]。

正解：如图12，[11H]在电场中负y轴方向有：[ay=qEm]，[h=12ayt2]，[vy=ayt];正x轴方向有：[ax=Fm]， [s=vxt-12axt2]，且有[tanθ=vyvx]，由以上各式可求得：[s=2tanθ-FqEh]。

点评： 例4中各物理量的关系比较隐蔽，采用常规方法求解必须要对平抛模型有较深刻的理解，而巧妙运用二级推论[tanθ=2tanβ]，可使解题过程大大简化。扩展题中造成错解的原因在于考生认为粒子依然做类平抛运动，其实有力F的存在，使粒子沿正x轴做匀加速运动，因此严格把握推论的应用条件显得十分重要。

三、课堂教学思考与启示

从以上例题我们可以看出，二级推论具有两面性，所以在日常教学中必须以辩证的思维进行审视，注重条件，讲究策略。

1.大小题型，区别对待

二级推论在处理问题时，跳过了烦琐的思维过程，因此更适用于选择题、填空题等小题。正确运用二级推论，可以避免“小题大做”的被动局面，从而为后面大题留下宝贵的时间。由于二级推论不能和教材中的定理相提并论，因此对于计算大题，直接运用二级推论是行不通的。但如果能从二级推论的视角来“一锤定音”，再把其证明过程渗透在计算解答中，这也是一个“一箭双雕”的做法。

2.把握时机，务实深化

二级推论是基本概念和规律的深化与延伸，所以课堂教学中的切入时机尤为重要。学生学习完新的概念和规律后，必须经历一个理解、模仿、熟练、领会的认知过程，从而构建一个相对稳定的心智模式。在此基础上，针对不同的学生、不同的情景再进行二级推论的教学。但要注意强调推论的应用条件以及推导过程，目的不在于让学生记住结论快速解题，而在于夯实基础，深化提高，培养学生透过现象分析本质，由个性提取共性的高阶思维能力，从而切实提高学生的物理学科核心素养。

[   参   考   文   献   ]

[1]  王燕.对一道试触法习题的探究[J].中学物理教学参考，2017（23）：50-52.

[2]  张波.注意使用条件 慎用二级结论 防止思维惯性[J].物理教师，2012（1）：60-62.

[3]  钱呈祥.物理“二级结论”在高考中的应用及拓展[J].物理教学探讨，2009（1）：50-52.

（责任编辑 易志毅）