函数奇偶性的工具作用

贺祝华

函数的奇偶性是函数的一个重要性质，其几何表现是图像的对称性.对具有对称性特征的函数问题，我们可以借助函数奇偶性的工具作用来解答.

一、利用奇偶性研究函数图像的对称性

一般地，若函数y= （x+a）-b为奇函数，则其图像关于原点对称，从而函数y=f（x）的图像关于点（a，6）对称;若函数y=f（x+a）为偶函数，则其图像关于y轴对称，从而函數y= f（x）的图像关于直线x=a对称.

小结 先对f（x）的解析式进行适当变形，再找一个与f（x）相关联的偶函数，利用偶函数的图像关于γ轴对称，通过图像变换求f（x）图像的对称轴.

二、利用奇偶性研究两函数交点或函数零点的关系

奇函数的图像关于坐标原点对称，偶函数的图像关于γ轴对称，若奇函数或偶函数有零点，则所有零点的和为零.

小结 此类问题求解的关键是找到两个函数共同的对称中心，灵活运用对称性求解，或者构造一个奇函数，利用奇函数的零点之和为零求解.

解 由函数解析式可知两函数的图像都关于直线x=l对称，作出两函数的大致图像如右图所示.由图可知两函数图像共有6个交点，则两个关于直线x=l对称的交点的横坐标之和等于2.故所有交点的横坐标之和等于6.选B.

小结 本题需要利用函数的性质判断函数的图像特点，其中函数图像的对称性是非常重要的性质，与函数奇偶性密切相关.

三、利用奇偶性研究函数值的相互关系

例5已知函数f（x）=（x-1）3+l，则f（-4）+f（-3）+…+f（0）+…f（5）+f（6）=____.

小结 此类问题需要判断出该函数是由什么样的奇函数或偶函数通过平移变换所得，再借助图像的对称性解决问题.“y=f（X）的图像关于点P（a，6）成中心对称图形”的充要条件为“y=f （x+a）一6是奇函数”.

例6 （2012年高考全国新课标文科卷第16题）设函数f（x）=的最大值为M，最小值为m，则M+m=____.

由f（x）=1+g（x），可知f（x）的图像可由g（x）的图像向上平移1个单位长度得到，f（x）的图像关于点（0，1）对称.若当x=xo时，函数f（x）取得最大值M，则由对称性可知，当x=-xo时，函数f（x）取得最小值m.所以M+m= f（xo）+f（-xo）=2.

小结 通过将已知的奇函数的图像平移，使得新函数图像仍具有点的对称性.

我们可以从这三类问题中发现，对与图像对称性相关的问题，要学会借助函数奇偶性的工具作用，抓住问题的本质，制订解题方案，从而快速解决问题.