TSP问题及其应用综述

林沐霖　何茂森　朱俊明

摘 要 TSP是数学领域内一道著名的难题之一，如何求解一直是学术界研究的热点问题。本文首先阐述了TSP问题的基本概念，介绍了TSP问题的一般描述及数学模型，然后归纳了现有对TSP问题求解的较为有效的方法—蚁群算法和遗传算法，最后阐述了TSP的应用领域。

关键词 TSP 遗传算法 蚁群算法

中图分类号：TP301.6 文献标识码：A

1 TSP问题的基本概念

TSP（Traveling Salesman Problem）问题，可译为旅行商问题，是数学领域中著名的组合优化类难题之一。

1.1 TSP问题的描述

现有对TSP问题的标准描述为：已知有城市数量为，一位旅行商人从其中的某一个城市出发，途中需要经过所有的城市，但经过的次数有且仅有一次，最后再回到出发的城市，怎样规划路线才能使旅行商所走的路线最短。

1.2 TSP问题的数学模型

设城市集合为V={v1，v2，…，vA}，对城市的访问顺序为T={t1，t2，…，tA}，其中ti=V（i=1，…A），而且ti+1=t1，则问题的目标函数如下：

意为目标函数的最优值为所有途径城市之间的路径和最短。

1.3 TSP问题的分类

从上述描述中可以看出TSP问题即是在若干城市或地点之间寻找一条回路，根据vi→vi+1与vi+1→vi的距离是否相当，可以将TSP问题分为对称TSP问题和非对称TSP问题。

2 TSP问题的求解方法

TSP问题已经被证明是一个NP-hard问题，即在P≠NP的假设下，找不到一个多项式时间算法来求解其最优解。TSP问题很容易被描述清楚，但是却较难找到合适的求解算法，自1932年TSP问题出现以来，已经有诸多学者在研究相关领域的问题，但至今仍为找到有效的方法。

曾经传统的经典优化算法经常被用来求解TSP问题的解，但是当城市数量较大时，就难以快速找到最优解。随着人工智能的发展，出现了许多独立于问题的独立算法，如蚁群算法、粒子群算法、遗传算法、鱼群算法、狼群算法等等。这些算法通过模拟自然界的某些现象而得出求解复杂问题的新思路和新方法。在优化领域，这类算法的由于其很好的收敛性和有效性而被广泛使用。

2.1蚁群算法求解TSP问题

蚁群算法最初是通过对蚂蚁群落的观察，受蚁群行为特征启发而得出的。蚂蚁是一种群居昆虫，在觅食、清理巢穴等活动中，彼此依赖、相互协作共同完成特定的任务。就个体来讲，单个蚂蚁的智力和体力是极其有限的，服务于整个群落的生存与发展；就群体来讲，蚁群在行为上的分工协作、在完成任务过程中所体现的自组织特征等反应出蚁群具有较高的智能和自我管理能力，具有很高层次组织性，这使得蚁群能够完成一些复杂的任务。

蚁群的特点是并发性、鲁棒性、正反馈性等。在蚁群算法求解问题的过程中，利用蚁群在问题空间中同时构造问题的多个解体现了算法的并发性。蚁群不会因为单个蚂蚁寻找到较差的解或者因为问题空间发生改变而使得算法丧失作用。这体现了鲁棒性。在蚂蚁构造问题解的过程中，以蚁群觅食行为为例，会在经过的解的路上释放信息素，而解空间中活得信息素越多的路径，对蚂蚁的吸引力就越大，使更多的蚂蚁经过该路径并进一步在上面释放信息素，这体现了算法的正反馈性。

矫德强等人使用非线性寻优算法增强蚁群算法的局部搜索能力，郑旭峰等人使用K-means聚类算法提高蚁群算法精度等，改进了蚁群算法的收敛速度及容易陷入局部最优解的问题，并将其应用在TSP问题中。

2.2遗传算法求解TSP问题

遗传算法的概念是由Holland于1973年受生物进化论的启发而首次提出的，它是一种通过模拟生物界自然选择和遗传机制的随机搜索算法。

遗传算法是一种比较通用的优化算法，编码技术和遗传操作比较简单，主要操作有选择、交叉和变异。根据TSP的目的，只是求最短路径，而传统解法非常在意得到路径的过程，遗传算法直接将目标指向距离最短，因此能较快地得到问题的答案。

3 TSP问题的应用领域

3.1 TSP在物流配送中的应用

物流配送是指从货运总公司出发，将货物沿途送到指定的各个分公司，最后返回总公司的配送路线。此类问题是在一个平面区域内对所有点的遍历问题，即选择一条闭合线路可以覆盖所有点，并使得路线在某种条件下达到最优，符合TSP问题的数学模式，可以将其应用于此类问题中。

3.2 TSP在机器人路径规划中的应用

机器人的路径规划问题主要是找到一条从出发点到目标点的最佳或次佳路径，或是在尽可能短的时间内游历尽可能多的目标点，类似于传统的TSP问题，因此同样可以采用TSP问题的方法进行求解。

参考文献

[1] Garey，M.R&D.S.Johnson.Computers and Intractability： A Guide to the Theory of NP-Completeness[M]. San Francisco： Freeman W H， 1979.

[2] 許能闯.基于改进蚁群算法的TSP问题研究[J].软件导刊， 2018（02）.

[3] 矫德强，常淮阳.一种改进蚁群算法在TSP问题上的应用[J].科技与创新，2018（01）：145-146.

[4] 郑旭峰，周健勇.K-means聚类蚁群优化算法求解大型TSP问题[J].物流科技，2018（02）：37-40