HPM视野下的高中矩阵教学

辛志立

高中数学中的矩阵教学，是选修的内容，与函数、数列、三角等常驻在高中阶段的内容相比，它在高中数学教学中显得“年轻”而又“份量不足”.

一方面，矩阵带着“高等数学”的意味，在高中数学内容中相对比较独立;另一方面，由于其要求并不高，所以出现的矩阵相关题型，难度不大，因为这两点，很多时候，在进行这一块内容的教学时，容易形成一种为了考题而教题、学题的状态，学生对本章节的内容也经常是知其然而不知其所以然，这样的教法与学法，很难达到教育本身的目的，因为学习数学并不只是学习如何解题，更需要培养学生学习兴趣，让学生获得数学学科核心素养，提升学生数学思维品质，

因此，试着在HPM视野下进行高中矩阵教学，让学生从一个更好的角度，对矩阵有一个更全面清晰的认识，所谓HPM即指History and Pedagogy ofMathematics，意为数学史与数学教育，“它不是为了历史而研究历史，而是为教育而研究历史，我们称之为数学教育取向的数学史研究，其目的之一，是为数学课堂教学提供相关材料，”[1]HPM视野下的高中矩阵教学，就是要在高中矩阵课堂教学中融入数学史，让学生进一步形成概念、明白原理、理清思路、发展思维.

1 借助数学史，明白数学概念

在HPM视野下的矩阵教学中，我们追本溯源，借助矩阵萌芽的历史来引入矩阵概念，

早在公元前1世纪，中国的《九章算术》就用到了类似矩阵的东西，以《九章算术》中的一题为例来说：

今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗;上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗;上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗，问上、中、下禾实一秉各几何？

现在我们可以列出方程组：

我国古代没有表示未知量的符号，因此直接用算筹将系数和常数，排列成了一个长方阵：

这就是矩阵最早的雏形，可以看出，矩阵就是一系列数字（或字母）摆成的阵列，但是它又并不是单纯的一种“数学游戲”，而是在古代解决实际问题的研究过程中产生的一种必然形态，

从这样的数学史介绍引入矩阵概念，提升自豪感并引发兴趣固然是原因之一，但是更深层次的作用有三：

（1）得知矩阵因何而来，首先解决了“矩阵是什么”的问题，知道来龙去脉，可以消除新知出现时学生心中的迷惘感，更好的理解概念.

（2）从历史中找实例，可以得知矩阵并不是数学家们“拍脑门”的举动，解决了“矩阵有什么用”的问题，从古代的算术中就看到数学工具的实际运用，能让学生感受到“学以致用”，从而进一步增加学习的兴趣.

（3）追本溯源，可以发现矩阵并不是一个独立的全新的概念，而是与学生的前知紧密相连，因为从矩阵的萌芽历史可以看到，矩阵就是方程组系数与常数的对应排列，由此可以推知，矩阵与方程组必然有着某些密不可分的关系，可以解决学生对新知的陌生感，同时也能更好地切入下一阶段的教学，

“这是什么”和“有什么用”往往是学生接触新知时最基本的想法，如果能够较好地解决这两个问题，那么必然可以让学生更好地提升学习兴趣，产生学习动力，用数学史引进概念，恰恰可以漂亮地做到这一点.

2 利用数学史，渗透数学思想

学生虽然了解了矩阵与方程的密切联系，但是在学习过程中又引发了新的问题：初中里就已经学会了用消元法解二元一次方程组，并且简单好用又为自己所熟练使用，现在为什么又要学别的方法来解方程组？而且在学习过程中还需要增加另一个新的概念：行列式，

在这样的问题下，学生下意识的产生排斥感，往往在学习过程中，有意无意地避开矩阵与行列式，而继续运用原有的知识来解决问题，

将数学史融入教学，可以有效地解决学生的疑惑，并从中获得良好的数学思想，

在这个阶段，可以利用数学史，进行以下两方面数学思想的融入：

2.1 程序化思想

在《九章算术》中，利用算筹解出线性方程组的运算过程，是一种按照一定步骤反复操作的过程，整个过程看似繁琐而复杂，但是却是一种程序化思想的体现，

在矩阵教学中遇到的解方程组的方法与以前初中时学得的解方程组的方法对比来看，从结构形式上来看，就像《九章算术》中的运算一样，看上去比较“臃肿”，计算也似乎更为复杂，但是在这里，蕴藏着程序化思想，

我国现代数学家吴文俊就是借助这样的思想，发明了吴方法，利用程序化的思想，用计算机来解决几何定理的证明，他说：“由于现代计算机的出现，其所需的方式方法正与《九章》传统的算法体系相符合，《九章》所蕴含的思想影响，必将日益显著，在21世纪中必将凌驾于《原本》之上，”[2]

程序化思想的渗透，一方面解决了学生的疑问：为什么已经有了简单快捷的方式，还需要学习另一个复杂的繁琐的方式？因为这其中有数学思想的存在;另一方面也提供给了学生一种思维的方向，程序化思想的渗透，有助于学生逻辑能力的提升与思维严密性的培养.

2.2 符号化思想

矩阵论的创立者英国数学家凯莱曾说过“矩阵概念，或直接从行列式概念而来，或作为表达线性变换的一个简便方法而来，”又说：“从逻辑上来说，矩阵的概念应先于行列式的概念，但在历史上却正好相反，”可见在历史的演进过程中，矩阵与行列式几乎可以看成是一对“双胞胎”，行列式的表示方式即两条竖线，就是凯莱在1841年开始使用的，而矩阵的符号，即用以来表示，则是凯莱于1855引入的，

在课堂教学中可以适当地渗透符号化思想，符号化思想其实是一种重要的数学思想，它主要是指有意识、普遍地运用符号去表述研究的对象[3].虽然高中生已经接触了非常多的数学符号，但是在今后的学习中他们必将接触更多的数学符号，符号化思想的渗透有助于学生更好地理解数学语言，更好地学习新知，进而让学生了解到原来创造符号并不是什么难题，更不是数学家才有的“专利”，在一些问题上自己设立一些符号，也许可以事半功倍.

3 串联数学史，体会数学精神

数学史的渗透，并不是作为一个用一下就抛诸一旁的引入，也不是一个兴之所至的即兴表演，而是有计划、有目的的贯穿于整个的矩阵教学的始终，

在高中阶段，学生需要学习许多矩阵的初等理论，其中包括了矩阵的相等、矩阵的运算法则、矩阵的逆等，在HPM视野下的矩阵教学过程中，数学课堂不只传授了对应的知识，也将对矩阵论作出贡献的日本数学家关孝和、瑞士数学家克莱姆、英国数学家凯莱、希尔维斯特等，一一介绍给了学生，

数学史就像一条蜿蜒可见的丝线，将如此多的知识点一一贯穿起来，让学生能够深刻体会到的是：

（1）依傍着历史看数学，让学生对矩阵这一块的知识有一个系统化的认识，很容易在头脑中形成一条清晰的线索，从而让所学习的内容不再琐碎，易记易学.

（2）渗透数学史的学习，让学生更明白矩阵的本质，明白学习矩阵的作用以及矩阵与其他数学内容间的联系，进一步形成良好的知识网络结构，有利于触类旁通，促进学习.

（3）整个学习过程仿佛是一个历史缩影，在追随历史的过程中，同学们跟随数学家的脚步，将问题一一解决，让学生知道每一段数学概念从出现到创立到完善，本身也是一个复杂与曲折的经历，我们在了解前人创造出历史的过程中，同样也接受与理解了他们的思想，同时也培养了自身的探究精神，

“数学课堂不可以为了学数学而学数学，不可以为了考试而学习解题，而应该将一个美丽的数学世界用一个更好的方式呈现给学生，在HPM视野下进行数学教育“可以将学生从数学的孤岛上挽救出来，并将他们安置在一个生机勃勃的新大陆上，这个新大陆包含了开放的、生动活泼的、充满人情味的并且总是饶有趣味的数学，”[4]

参考文献

[1]汪晓勤.HPM研究的内容和方法[J].数学教育学报，2016.2（1）：18

[2]吴文俊，郭书春.汇校本《九章算术》序[M].沈阳：辽宁教育出版社，1990

[3]王建，程宏.符号化思想与小学数学[J].教育实践与研究，2006 （10）：41-43

[4]汪晓勤，林永伟.古为今用：美国学者眼中数学史的教育价值[J].自然辩证法研究，2004 （20）： 73-74