对Willhite经验公式的改进

邓 森，李斌会，赵 宇

(1.大庆油田有限责任公司勘探开发研究院 黑龙江 大庆 163712;2.黑龙江省油层物理与渗流力学重点实验室 黑龙江 大庆 163712)

油水相对渗透率曲线在油气田开发过程中有着重要的应用，国内外学者对此展开的研究也很多[1-10]。1946—1987年，国外的Jones、Corey、Prison、Wyllite、Brooks-Corey、Chierici和Willhite先后对油水相对渗透率曲线经验公式进行了研究，Jones把水相指数看作一个固定的常数3；Corey把水相指数看作一个不确定的常数m；Wyllite认为分选性好的非胶结砂岩的水相指数为3，分选性差的非胶结砂岩的水相指数为3.5，胶结砂岩、鲕状灰岩或孔穴灰岩的水相指数为4；Willhite则把水相指数看作一个不确定的常数m，并对水相渗透率端点值进行了修正，Corey和Willhite给出的油相相对渗透的表达式相同。国内研究相对渗透率曲线经验公式的有陈元千、李克文和张继成等，陈元千把水相指数和油相指数看作一个固定的常数3，同时对水相相对渗透率端点进行了修正，但未对油相相对渗透率端点进行修正；李克文公式与Willhite公式有些相似，只是水相相对渗透率表达式多了一个含水饱和度的一次项，油相相对渗透率表达式多了一个含油饱和度的一次项，并且为了避免求导出现奇异点引入了常数；张继成则得到了以10为底的指数经验公式。

在众多油水相对渗透率经验公式中，应用最广的为Willhite经验公式，但Willhite经验公式在应用中也会出现一定的局限性，有必要对其进行改进。

1 改进Willhite公式的必要性

Willhite经验公式表达式为：

Kro=Kro(Swc)(1-Swd)n

(1)

Krw=Krw(Sor)Swdm

(2)

(3)

式中：Krw为水相相对渗透率，f；Kro为油相相对渗透率，f；Krw(Sor)为残余油下水相相对渗透率，f；Kro(Swc)为束缚水下油相相对渗透率，f；Swd为归一化含水饱和度，f；Sor为残余油饱和度，f；Swc为束缚水饱和度，f；Sw为任意时刻含水饱和度，f；n为油相指数；m为水相指数。

王国先等根据相对渗透率曲线特征参数和形态将其分为5种类型[14]，其中水相上凹型、水相下凹型和水相直线型是最常见的三种形态。对大庆油田93条油水相对渗透率曲线形态进行分析，发现61.29%为水相上凹型，23.66%为水相下凹型，15.05%为水相直线型，采用Willhite经验公式对相对渗透率曲线进行拟合，只有77.55%拟合较好。93条油水相对渗透率曲线的油相指数平均值为2.476，最大值和最小值分别为3.4和1.6；水相指数的平均值为2.739，最大值和最小值分别为4和1.4，平均水相指数比油相指数稍大。

Willhite经验公式拟合不上主要有两种：①油相相对渗透率在含水饱和度较低时快速递减，此时含水率上升比较快，表现为油相相对渗透率曲线较为弯曲，此种情况往往在靠近束缚水端点部分拟合不上；②水相相对渗透率在含水饱和度较高时快速递增，此时已经处于特高含水时期，含水率上升比较慢，表现为水相相对渗透率曲线较为弯曲(见图1)。

图1 Willhite经验公式拟合曲线

进一步对拟合不好的原因进行分析，将式(1)和式(2)分别写成

(4)

(5)

通过Willhite经验公式回归出的函数关系是通过原点的一条直线，实际上的实验数据点回归出来的直线并没有通过原点，而且实际的数据点会偏离直线。油相相对渗透率数据点在含水饱和度比较低的时候数据点偏离直线稍微向上翘，水相相对渗透率数据点在含水饱和度比较高的时候数据点偏离直线稍微向上翘(见图2)，因此有必要对油相指数和水相指数进行改进。

图2 Willhite公式线性回归图

2 对Willhite公式的改进

经过对93条油水相对渗透率曲线的反复拟合，提出了拟合精度更高的Willhite改进公式：

Kro=Kro(Swc)(1-Swd)aSwd+bexp(-Swd)

(6)

Krw=Krw(Sor)SwdcSwd+dexp(-Swd)

(7)

式中a、b、c、d均为回归系数，可用二元线性回归法获取，不考虑端点值，将式(6)和(7)写成

(8)

(9)

则有

y1=ax1+bx2

(10)

y2=cx1+dx2

(11)

根据最小二乘法有

∑x1y1=a∑x12+b∑x1x2

(12)

∑x2y1=a∑x1x2+b∑x22

(13)

∑x1y2=c∑x12+d∑x1x2

(14)

∑x2y2=c∑x1x2+d∑x22

(15)

由此可得

(16)

(17)

(18)

(19)

用改进公式对图1的油水相对渗透率曲线进行拟合，见图3，a、b、c、d四个参数分别为0.334，3.777，4.190，1.291。油相相对渗透曲线和水相相对渗透率曲线拟合的相关系数分别为0.999 1和0.999 4，油相相对渗透率曲线越弯曲，a和b相差越大，b值往往比a值大；水相相对渗透率曲线越弯曲，c和d相差越大，c值往往比d值大。b值和d值主要影响相对渗透曲线靠近束缚水端点半部分的形态，a值和c值主要影响相对渗透曲线靠近残余油饱和度端点部分的形态。拟合结果与实际值产生的误差见图4，表1是用改进公式和Willhite公式对相对渗透率曲线拟合的结果。

图3 Willhite改进公式拟合曲线

图4 拟合误差曲线

表1 油水相对渗透率计算值与实际值对比

3 实例应用

大庆油田93条相对渗透率曲线之外的三条水驱相对渗透率曲线见表2，用改进经验公式拟合见图5。水相上凹型油水相对渗透率曲线回归参数a、b、c、d的值分别为1.338，3.086，3.762，1.094；水相直线型油水相对渗透率曲线回归参数a、b、c、d的值分别为1.3，2.8，1.5，0.86；水相下凹型油水相对渗透率曲线回归参数a、b、c、d的值分别为1.142，4.543，0.026，0.754，拟合相关系数都在0.99以上。

表2 三种类型油水相对渗透率曲线

图5 三种类型油水相对渗透率曲线拟合曲线

4 结论

(1)大庆油田油水相对渗透率曲线主要为水相上凹型，其次为水相直线型，最少的为水相下凹型。

(2)Willhite经验公式适合大多数油水相对渗透率曲线的拟合，但油水相对渗透率突变较大时，Willhite经验公式拟合的油水相对渗透率误差较大，油相指数和水相指数为常数对于曲线的拟合存在一定的局限性。

(3)改进的Willhite经验公式弥补了传统Willhite经验公式的不足，公式改进后拟合精度更高，对于油水相对渗透率突变较大的情况也能拟合。