向量夹角的风波

2019-04-15 10:48潘梅耘
新高考·高一数学 2019年1期
关键词:错因钝角夹角

潘梅耘

向量的夾角是个特殊的平面角,具有明显的形和数的特征,所以同学们要想驾驭向量的夹角,切记从形、数等多个方面进行理解和应用,否则会惹出不少风波.

一、夹角起点惹风波,起点统一是根本1.在△ABC中,a=5,b=8,c=60°,则BC·CA的值为_____。

错解

错因 对两个向量的夹角的定义模糊不清,未能抓住“确定向量夹角时,一定要将两个 向量平移到共起点”

评析 向量夹角是平面角,所以它的范围为[0°,180°],在三角形中两边向量夹角规律:两边向量共起点或共终点时,向量夹角即为对应该公共点的三角形内角,否则为其补角.

二、夹角范围惹风波,等价转化是关键2.设平面向量a=(-2,1),b=(λ,-1),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是__.

错解 由题知cos=a·b/|a||b|<0,得a·b<0,-2λ-1<0,从而λ∈ (-1/2,+∞).

错因 忽视a与b反向这个不合题意的情况.

正解 由题知-1

评析 在已知条件下求变量的取值范围,实质是寻找充要条件,两向量a与b的夹角为钝角的充要条件是a·b<0且a与b不共线,两向量a与b的夹角为锐角的充要条件是a·b>0且a与b不共线.

三、夹角公式惹风波,数形结合显神通

再用夹角公式,结果因计算太繁复而放弃.

错因 不注意数形结合在解题中的应用.

评析 向量是既有大小义有方向的量,所以它与长度、角度密切相关,同学们一定要多关心它的几何属性,便于简化解题过程.

有关向量夹角的“风波”,表现形式还有很多,同学们可记住下面的口诀,以免出错:向量夹角共起点,范围不过一平角;同向反向和垂直,三种特情别忘记;锐角钝角要分清,变形转化要等价;夹角公式要牢记,数形结合显威力.

相关练习

(l)锐角三角形

(2)直角三角形

(3)钝角三角形

(4)不能确定

3.已知a=(1,2),b=(1,1),且a与a+λb的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.

4.与向量a=(1/2,1/2),b=(1/2,-1/2)的夹角相等,且模为1的向量是

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