注重能力培养 促进思维生长

摘要：本文在“经验缺失陷困境类比转化迎曙光”一文的基础上，对问题进一步探究，从不同角度给出了新的解法.

关键词：能力培养;活动经验;探究

读了顾建锋老师发表在《中学数学教学参考》2017年第5期（中旬）《经验缺失陷困境类比转化迎曙光》（以下简称文[1]）一文后，笔者认为，数学教学追求的目标是学生对基础知识与基本技能的应用，是学生对问题数学化能力的发展[1]，因此教师要善于以学生的认知发展水平和已有经验为基础，注重知识的生长点与延伸点.要从试题中挖掘出更深层的知识，使隐性的、零碎的解题经验显性化、系统化.探寻学生解题时容易想到的自然解法，但不可故步自封，有时甚至可以另辟蹊径.通过进一步思考，笔者对解法又有了新的发现.

1 试题呈现

问题如图1，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-2，0），（0，-4），（4，0），点M在y轴的正半轴上且满足∠AMB+∠ABM= ∠ACB，求点M的坐标.

解读 本题条件简约，但是思维含量很大，可以考查一次函数、相似、三角形等核心知识.相似三角形及其相关知识是考查学生分析和解决问题等综合能力的重要载体，在解决问题时，要善于从复杂图形中分离或构造基本图形，发现隐性条件，从而迅速发现解题突破口.

2 解法探寻

本题将图形放置于平面直角坐标系中，因此可以考虑用坐标的方法探究解题思路

解法1 如图2，延长MA、CB交于点D，设M（O，

点评 解法1利用了解析法，待定系数法，解方程组，两点距离公式，相似三角形对应边成比例的性质，一元二次方程等知识.解法l是通法，但运算量稍大，继续思考，既然用M点坐标可以表示D点坐标，进而求出D的坐标，那么当然也可以先求出D点坐标，再将坐标转化为水平或铅垂线段，借助基本事实九的推论求出OM的长，得到点M坐标.

点评 解法2利用相似三角形面积比等于相似比的平方及等高的两个三角形面积比等于底的比.充分利用共边共角型相似这一基本图形（也称为母子相似）激活思维，灵活展开计算，大大简化了解法1中的计算量.当然也可以只延长MA，直接过点B作BD //x轴，交MA延长线于点D.既然∠DAB，∠BCA都是45°，可以在x轴上点A左侧取点E，使∠DEA= 45°，构造一线三等角这一经验图形来解决.

解法3 如图4，延长MA、CB交于点D，作DF⊥x轴交于点F，在CF的延长线上取点E，连接DE，使∠DEA =45°.

点评 这个思路清新自然，源于对问题的深入探究，对基本图形的理解、运用更加灵活.当然根据对称性，在BO上取D，使OD= OA，也是可以的.

解法6 如图7，作MD //AB，交x轴于点D，则∠MDA= ∠CAB，∠ABM= ∠DMO.

由∠AMB+∠ABM=∠ACB，得∠AMD=∠AMB+ ∠DMO= ∠AMB+ ∠ABM= ∠ACB =45°.

所以△MDA∽△CAB.

所以MD/CA=AD/AB

设OD =a，则由MD //AB，得MD/OD =BO/OA =2/1.

所以OM =2a，MD =√5a，AD =a +2.

而CA =6，AB= 2√5，代入解得a=3.

所以OM =6，即M（O，6）.

点评 通过添加辅助线把分散的条件集中，往往有利于解题当然，根据对称性可以把∠ABM移到MA左侧;也可以把∠AMB移到BA右侧.还可以把∠ABM或∠AMB移到∠ACB内，转化为类似于线段的截长补短，进行解决，向上看，解法5相当于作AD //BC.进一步思考，过M，A，C，B任意一点作平行线均可（如图8、图9，分别对应解法7、解法8）.添加平行线，这是构造相似三角形的常见的辅助线，用在这里，体现了多解归一的数学本质和化繁为简、化难为易、化陌生为熟悉的解题策略和数学意识，可谓四两拨千斤，相比文[1]中的过点B作x轴的平行线，是一致的，且思路更显自然，合理.

点评 解法9、解法10通过构造基本图形，注重数形结合，揭示了问题的本质，开阔了学生的视野.

3 教学启示

3.1 注重能力培养，促进思维生长

通过以上解法探寻（关键是合理构造相似图，关注解法的自然生成和思路的自然转化），给出了自己读刊后的一点想法.对于图形与几何来说，重在积累解题经验，将四基转化为能力，推动数学意识和数学素养提升，促进思维生长.因此教师首先要做好角色定位，发挥好组织者、引导者、点评者的作用;其次要明确转化方向，深刻理解概念、判断、推理的有机整合，追求知识与思维能力的自然生长;最后要循序渐进，注重数学的过程教育，注重知识和方法的生成，持之以恒地抓好基础知识、基本技能的目标落实，做到左右逢源，游刃有余.

在实际教学中，抓住两点就可以了.一是抓住基本图形的教学;二是抓住经验图形的教学[2].特别是，数学学习需要联系的学，整体的学，一题多解后还要多解归一.思想的感悟与经验的积累，主要依赖于学生亲身参与其中的数学活动，依赖学生的独立思考，在学生自主解答時，教师要确保学生经历解题经验积累的过程，问题的解答需要经历学生读题、析题、画图分析，综合推敲、转化类比、矫正完善、寻找原型、揭示本质等过程，决不能用教师的讲评、课件的演示、优生的解答替代每一位学生的思考.

3.2 注重能力培养，促进核心素养落地

在发展学生核心素养的背景下，注重能力培养的意义不仅在于巩固学生学习数学的基本知识和基本技能，还在于学生积累丰富的活动经验，感悟重要的数学基本思想，提升学生的自主学习能力，尽可能在课程实施，课堂教学，作业以及社会实践中，达到和易以思、神明自得的境界，促进核心素养的落地.

参考文献：

[1]齐欣.一个经典的相似模型及变式[J].中学数学教学参考，2016（24）：17 - 18.

[2]齐欣.例析线段、角的计算与证明[J].数理化学习（初中版），2017（02）：7- 10.