小议三角函数的物理意义与数学意义的对比

闫嘉启

摘要：三角函数不仅是数学知识，在物理学习中，我们也会常发现三角函数的身影，如力的正交分解、运动的合成与分解等，所以导致很多学生对其物理意义与数学意义弄混乱。本文将以三角函数为例，将其的物理意义与数学意义进行对比分析，以期能够帮助学生能够理清两者的关系。

关键词：三角函数知识   物理意义   数学意义   对比

近年来，为了促进学生的全面发展，不难发现很多学科知识点都在互相渗透，在数学题目中会出现重力、摩擦力等物理相关的词汇，而在物理解题过程中也会利用一些数学知识来提高解题的便利性。由此，可以看出目前高中教学正在尝试着将各个学科的知识进行融合，从而尽可能地避免学生出现偏科现象。三角函数就是一个学科之间进行融合的典型代表，虽然它是数学初等函数中的一种类型，但是却也能够在物理解题中发挥一定的功效，是不可缺少的一个重要工具。

一、三角函数的概念

三角函数是初等函数中的一种，其本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。它包含六种基本函数：正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。一般来说，三角函数是在平面直角系中进行定义的，定义为整个实数域，在数学和物理解题中都有着重要意义。

二、三角函数的应用

（一）三角函数在数学题中的应用

三角函数是高中数学知识点的中的一个难点所在，通常会被用来求证某些几何图形的关系或者一些不规则图形的面积、最大值、最小值等。对于高中学生而言，三角函数更多的是考察他们对于三角函数的定义、性质、以及一些公式是否能够正确理解和应用。由于三角函数的特殊性，在遇到关于三角函数的相关问题时，一般都会需要用到直角坐标系，通过图形结合能够更加准确清晰地知道对应的答案。

例1，已知三角函数y=sinx2+cosx，求该三角函数的最大值。

解析：在解决最值问题时，我们通常都會借助三角函数的一些特性，在这道题目中需要结合圆方面的知识进行解题，即cos2x+sin2x=1。画一个直角坐标系，设点A（cosx，sinx），根据三角函数cos2x+sin2x=1可知，A是单位圆上的一点。对函数y=sinx2+cosx分析可知，它过定点B（-2，0），而这个y函数也就可以理解为是定点A与B之间的斜率。本题是想要得到函数的最大值，而当直线AB与单位圆相切时斜率最大。经计算可知，最大值为33。

（二）三角函数在物理题中的应用

在高中物理解题过程中我们通常会借助一些数学知识来帮我们把一些物理问题简单化，如三角函数在物理解题过程中就有着广泛的应用，在力的合解、运动的合成等方面都能够帮助我们轻易地解决物理问题。但是在物理中需要用三角函数解决问题时，首先需要将一些物理量转化为含有三角函数的关系式，如此才能够利用三角函数的一些图像、性质来解决相关问题。诚然，三角函数在物理解题中的应用，不仅能够使得解题变得更加简洁、方便，还能够开拓学生的思维，拉近学科之间的距离。

例2：如图1，在水平向右电场强度为E的匀强电场中，一带电小球静止在电场中，剪短细绳后t离开电场，小球质量为m，电荷量为q，求小球离开电场时刻与电场线的夹角的正切值。

解析：从题意可知，正切就是三角函数中的一种类型，求解正切值无疑需要用到三角函数。首先对剪短细绳后的小球进行受力分析，如图2，最后根据正、余弦函数边角关系表示出正切值。

三、三角函数物理意义与数学意义对比分析

（一）相同点

三角函数无论对于数学还是物理而言，其都是一个重要的解题工具，能够帮助学习者们更好更快地解决问题。不管是物理题目中的物理量，还是数学题目中的一些最大值、最小值，都不是直接利用三角函数关系去解决的，而是需要先将题目中涉及到的点转化为与三角函数相关联的数，如此才能够借助三角函数的知识去解题。三角函数的应用的确让一些立体化的知识变得更加平面化、具体化，既提高了学生的解题速度和效率，又能够方便我们学生理解和学习。

（二）不同点

三角函数在数学中的重要性要远高于在物理中的重要性。简单来讲，三角函数并没有作为一个单独的知识点出现在物理教材中，但是却出现在数学教材中，由此可以看出，三角函数对于物理的意义而言仅是一个辅助工具，虽然很重要，但还是不能够与力学、运动学、磁学等知识点相匹配。从上述的举例中也可以看出，三角函数在物理题中的应用仅是一个转化，更多的是考察学生对于力学知识的掌握程度。然而，三角函数在数学中的应用却不仅仅是一个辅助工具，它充当的是一个独特的知识点，是高中数学的重要内容。在数学题目中三角函数的应用并不仅仅是一个简单的转化，还需要结合三角函数的图像、性质等。

四、结语

综上所述， 虽然三角函数在物理和数学中都有广泛的涉猎，但是究其重要性而言，还是数学意义更加深远。所以，对于高中生而言要能够分清主次，三角函数在物理学科中只需要掌握一些简单的理论即可，但是在数学学科中却要对其性质、图像、定义、公式等进行理解和记忆，毕竟三角函数在数学题目中的应用不仅仅局限于表中，还会与其他的一些东西进行联合对学生进行考察。总之，如果学生已经能够熟练应用三角函数知识解决数学问题，那么三角函数在物理中的应用自然也是水到渠成。

参考文献：

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（作者单位：三门峡市外国语高级中学）