不同雷诺数下圆柱绕流多重分形研究

东乔天 张淼

【摘 要】湍流是世界复杂问题之一，目前还没有方法准确的描述湍流。研究通过多重分形去趋势波动分析（MFDFA）流体力学中基本的圆柱绕流问题，通过CFD计算获得四个不同雷诺数速度场，利用MFDFA方法研究了不同雷诺数速度流场的尺度特性。结果在不同雷诺数下，圆柱绕流的速度场数据在变为湍流时呈现出不同的尺度特性，雷诺数越大，湍流的分形测量值越高。本文提供了一种描述自然界湍流的方法。

【关键词】多重分形;MFDFA;圆柱绕流;湍流

中图分类号： TP393.06 文献标识码： A文章编号： 2095-2457（2019）03-0239-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.03.100

0 引言

当人类对自然有更深入的了解时，多重分形不仅仅限于几何或统计领域，近年来随着人们对混沌世界和湍流的关注，多重分形分析逐渐被应用于物理学、生物学、金融学等领域。流体从层流转变为湍流时，可以清晰的发现某些多重分形特征[1]，而这也为湍流学者提供了一个新的视角[2]。随着实验流体技术和计算流体力学的发展，对湍流分形测量的研究越来越多，如PIV技术等，可以获得整个速度场。圆柱绕流是流体动力学中的一种基本流，当雷诺数较低时，圆柱绕流呈现层流。然而，随着雷诺数的增加，流动转化为湍流，当流动条件改变时，可以观察各种卡门涡街的各种形成。

本文着重研究了不同雷诺数引起的圆柱绕流的多重分形勘探。雷诺数在一定程度上取决于湍流强度，对于不同的流场，应该有不同的分形测度来描述。因此，本文试图通过计算流体力学和MFDFA方法，找出圆柱绕流多重分形与雷诺数的关系规律。

1 CFD模型

雷诺数是本研究中唯一变量，使用相同的网格计算4个不同雷诺数工况（Re=1，102，103，104），以减少网格数量或质量引起的误差。

Re=（V×D×ρ）/μ，式中，V为来流速度，D为圆柱直径，ρ为流体密度，μ为流体粘度。为了方便地改变雷诺数，来流速度、圆柱直径和流体粘度都设置为1。

网格圆柱直径D=1，整个计算域为80D×40D的矩形，圆柱距速度入口20D，距速度出口60D，距上下壁面20D，以避免速度进出口和壁面的干扰。

图1显示了雷诺数从1到104时，圆柱绕流速度云图结果。随着雷诺数的增加，边界层越来越薄。且需要注意的是，当雷诺数较低时，圆柱周围的流动是层流（如Re=1所示），但当雷诺数增加时，圆柱尾流变成湍流。

2 MFDFA分析

数值模拟只是获得整个速度场数据的一种方法。为了分析圆柱绕流的多重分形特征，以圆柱后中心线的速度量为研究对象。图2为不同雷诺数下圆柱绕流中心线速度场，当圆柱绕流为层流时，速度级平稳上升，无波动，但当气流转为湍流时，速度级数据随着雷诺数的增加波动更大。

3 结果

通过线性多项式去趋势方法获得了波动函数Fq（s），在最小二乘法方程假设下，拟合h（q）。

从图3可以明显看出，当Re=102，103，104时，α最小值接近0.84，當Re=1时，最小值为1.12;在所有雷诺数下，f（α）最大值为1。应注意，当流动从层流转换为湍流时， f（α）最大值的位置值逐渐向前移动，当Re=100，α0=1.56，当Re=1000，α=1.85，当Re=10000，α0=2.25。α被称为局部分形，它表示一个小区域的分形，换句话说，α0反映了平均分形度量。随着雷诺数的增加，α0增加，湍流的分形也越复杂。另一方面，随着雷诺数的增加，多重分形宽度Δα也随之增大，进一步证明了多重分形特征的尺度更大。还应注意的是，当Re=1，流动处于层流，f（α）最大值α=2（图6中用虚线表示），这意味着层流的多重分形特征接近2维。

综上所述，当圆柱绕流为层流时，圆柱绕流速度大小的分形接近二维。湍流的分形测度随雷诺数的增加而增大，随湍流的发展而增大。

4 结论

近年来学者提出了许多描述湍流特征的方法和技术，这些方法和技术鼓励我们使用分形或多重分形等技术来分析速度数据。本文用CFD计算了不同雷诺数下圆柱绕流的速度场，并通过MFDFA方法对不同雷诺数下的多重分形特征、多重分形谱、最大位置和宽度进行了分析，研究结果表明，层流的分形测量维度接近于2维，当流动从层流转为湍流时，随着雷诺数的增加，多重分形特征的尺度越大，湍流的分形测量值越高。本研究对流体进行深入的多重分形研究，为认识和描述自然界的湍流提供了新的途径。在下一阶段，将整个圆柱绕流的尾流场作为数据分析，作为一个系列开展多重分形分析，系统地描述湍流特征。

【参考文献】

[1]Mandelbrot B B. Intermittent turbulence in self-similar cascades-Divergence of high moments and dimension of the carrier[J].Journal of Fluid Mechanics， 1974， 62（2）： 331-358.

[2]Mandelbrot B B. The fractal geometry of nature[M]. Macmillan， 1983.