混凝土宏观损伤本构研究进展

申 波，刘盼盼，马克俭，陈 映，谢宗言

(贵州大学 空间结构研究中心，贵州 贵阳 550003)

混凝土作为一种主要的建筑工程材料，在各个领域都得到了广泛使用，如建筑、桥梁、隧道、大坝等；作为一种由水泥、粗骨料、细骨料和掺合料组成的多相复合材料，从形成之初，它就带有天然缺陷如微裂缝、微孔洞，其力学行为所受影响因素较多[1-2]。要想全面了解混凝土的力学特性，分析结构的使用寿命和安全可靠性等，需研究其内部微缺陷的演化规律，这也是损伤理论产生的原因。

由于混凝土损伤起始更多地依赖应变，为研究混凝土的力学行为，学者们极其重视对混凝土的应力—应变曲线的研究。他们从理论研究、数值模拟和试验研究的角度出发，对混凝土单轴和多轴受力性能进行分析，引入了损伤力学的概念来解释混凝土的非线性行为。通过KACHANOV、RABOTNOV、LEMAITRE、HULT的努力，损伤力学理论框架初具模型，之后由LADEVEZA和MAZARS对损伤力学贡献出了开创性的成果：LADEVEZA将应力张量的正负分解，引入损伤本构中；MAZARS在此基础上进行改进，形成了具有重要意义的单边损伤本构模型。之后，不少研究者对其进行修缮，但效果不甚良好。究其原因，是因为弹性本构未能反映混凝土非线性发展中存在塑性变形的特点。塑性力学的引入为损伤本构的研究提供了新的思路，学者们开始探究考虑塑性变形的损伤本构关系。从实验和理论角度，对弹塑性损伤本构进行研究，其中比较有代表性的是SIMO-JU模型，RESENDE模型和FARIA模型等。在参考国外学者研究成果的基础上，国内学者如余天庆、钱济成等也对弹性本构做了不少研究，如改进的分段曲线模型等，也有不少学者如张研、齐虎等对弹塑性本构模型进行了诸多研究。由于混凝土材料的高度非线性，且表现出典型的随机性，故而有学者进行了随机损伤本构的研究，并取得了一定成效。

目前，混凝土损伤本构的研究主要是采用弹性力学、塑性力学、断裂力学以及上述理论的组合。本文结合前述学者前辈的损伤本构研究成果，归纳了混凝土损伤本构的发展历程。由损伤力学分析结构问题的步骤切入，对损伤变量的选择；弹性、弹塑性本构分类及损伤演化法则三方面内容进行探讨，总结现有损伤本构的异同和优缺点，简单探讨损伤本构未来发展趋势及方向。

1 损伤变量

损伤变量作为一种表征材料内部的劣化的物理量，反映了材料内部的缺陷状态，可通过物理分析或者物理量来表示[2-3]。1958年，KACHANO提出了连续度ψ的概念，他认为材料劣化的主要机制是由于微缺陷引起的有效截面的减小，ψ可用式(1)表示。RABOTNOV[4]提出了使用损伤变量D进行金属蠕变损伤本构的分析，如式(2)所示。

(1)

(2)

KACHANOV提出的连续度和RABOTNOV提出的基于有效面积减小的损伤变量，是具有实际物理意义；而在纯粹现象学方法中由自由能导出的应力应变关系，损伤变量此时便可能不具明显物理意义。

损伤机制不同，损伤变量的选取也会不同，损伤变量分为标量、张量两类。标量损伤变量，物理意义明确，概念简单，限于当前研究水平和工程实用性，仍然在被采用。对于各向同性损伤，损伤变量可取为标量；单标量损伤变量由于无法模拟混凝土单边效应[5]，故而有学者采用双标量损伤模型[6-10]，通过定义两个损伤变量来以描述拉应力、压应力状态下的不同损伤状态。对于各向异性损伤[11]，损伤变量取为矢量或者二阶张量，有的甚至使用四阶张量或八阶张量表征损伤变量，但由于八阶张量在实际使用者中太过复杂，一般不被采用。

2 损伤本构模型的建立

利用损伤力学分析工程问题时，大致分为三个过程：选择合适的损伤变量并找出材料缺陷如何影响材料宏观性质；建立损伤变量的演化规律，给出应力、应变在进一步损伤中的关系；由此建立起损伤、应力、应变三者之间的关系。最后由损伤本构模型对结构中出现的宏观缺陷进行预测。本节主要针对损伤本构模型的建立，对后续结构缺陷的预测不做阐述。由于混凝土损伤类型多样，既包括延性、塑性损伤，在长期荷载作用下又会发生蠕变损伤。在循环荷载和动态荷载下也会发生疲劳损伤和动态损伤[12]。损伤本构关系分类较多，有弹性、弹塑性分类；有各向同性、各向异性损伤本构分类；还有静力损伤、动力损伤本构分类；局部、非局部损伤本构分类等。各分类之间相互交叉重合，并不绝对，本节采用弹性、弹塑性损伤本构分类进行分析。

2.1 弹性损伤本构

弹性损伤模型只考虑损伤对刚度的影响，并未考虑不可恢复的变形。LOLAND[5]借助HULT提出的连续损伤模型，给出了单轴受拉损伤模型，该本构前半段使用指数函数，后半段采用线性关系近似模拟应变软化后单轴受拉应力-应变曲线，使用较为方便，但是误差比较大。在此基础上，钱济成、熊华等[13-14]提出了分段双线性模型和分段曲线模型，分段曲线模型基于试验数据进行系数取值，偏于经验且模型较为复杂。

MAZARS[8]利用等效应变概念定义损伤阀值；该损伤本构将损伤变量分解为拉、压两部分如式(3)所示。MAZARS[15]的研究表明循环荷载下混凝土表现出单边效应。但由于其是各向同性损伤本构，在理论模拟方面会出现偏差，如该本构关系对压-压区域的拟合结果就不甚理想。高蕴昕[16]基于古典各向同性损伤的局限性，在未做任何等效性假定的前提下，给出了DE、DG双标量损伤标量表征本构关系，同时给出了损伤后的泊松比，如式(4)所示。为验证模型的准确性，其建立了一个多孔平面应变各向同性弹性体，结果表明DE、DG显著不同。

D=αtDt+αcDc

(3)

式中：αt、αc分别与拉应力、压应力有关；Dt、Dc分别代表混凝土受拉损伤变量，受压损伤变量。

(4)

式中：E、G为初始无损状态的弹性模量和剪切模型；v为无损状态的泊松比。

上述损伤模型中损伤变量均取为标量，且假定混凝土为各向同性。JU[11]提出了应用四阶张量进行各向异性损伤本构分析发现如果利用一维标量损伤变量分析三轴受力，泊松比在损伤过程中会成为定值。为克服经典连续损伤理论存在的缺陷，唐雪松[17]采用单标量损伤变量在细观尺度下对各向同性损伤进行描述，提出了建立损伤本构方程的本构泛函展开法，该方法也可推广至各向异性与非弹性材料的损伤问题。

2.2 弹塑性损伤本构

诸多混凝土在反复加载时的试验的研究表明：反复加载时的混凝土应力-应变关系存在明显的刚度退化，当应力卸载后仍然存在相当一部分不可恢复的变形，而且还会逐渐地增加，弹塑性损伤本构模型同时考虑了两种因素。

SIMO[18]采用应变等效和应力等效概念。在基于应变的各向同性损伤模型中，引入包含塑性应变和塑性势函数的自由能表达式，给出了不同于MAZARAS和LEMAIRTE的等效应变，由此建立损伤准则如式(5)所示。利用余能作为能量势，将应变张量分解为弹性和塑性部分。余能势函数的使用，奠定了损伤理论的热力学基础。但是由于其物理意义不明确，分析变形结果偏大[19]。

(5)

RESENDE[6]提出了拉剪损伤模型，他将损伤分为剪切损伤机制和拉伸损伤机制，在混凝土受压时运用剪切损伤机制，在混凝土受拉时运用拉伸损伤机制，如式(6)所示。在考虑了损伤演化限制条件和静水塑性加载条件下，给出了7种损伤基准理论，包括4种受压和3种受拉本构。但是其中的参数难以确定，并且算法不太稳定，所用理论不能模拟以强损害方向性为主导的问题。另外，RESENDE首次将损伤本构关系建立在球量空间和偏量空间，对于拉伸状态，偏量空间忽略受剪损伤；对于压缩状态，偏量空间为受剪损伤。李杰、吴建营[20-21]采用这种偏量和球量空间的分解思路，建立了基于能量的弹塑性损伤本构模型，并在混凝土力学性能的数值模拟上获得了良好的效果。

(6)

式中：λ为损伤标量。

FARIA[7]提出了双标量粘性塑性损伤本构，他利用有效应力概念定义Helmholtz自由能，虽然在形式上与MAZARS[9]模型相似，但是FARIA采用的是有效应力，可由弹性应变张量直接求得，便于数值计算，而柯西应力张量需进行多次迭代收敛后才能进行分解。之后，FARIA[22]将此损伤模型进行简化，减少了模型中所用参数，得到了更适用于工程应用的损伤本构模型。升级版的塑性本构模型中，对受拉、受压给出了相同形式的损伤标准，表达式趋于简化，但该损伤准则不适于三轴受压状态。另外，该模型采用的损伤演化法则是半经验半理论式，塑性变形则完全采用经验式，适应范围相对比较窄。

近年来，张研[23]提出了考虑混凝土应变率效应的弹塑性损伤本构模型，该模型损伤准则中引入了应变率敏感性参数，对预测大范围应变加载情况下的混凝土破坏强度具有积极作用；齐虎[24]研究了弹塑性损伤本构模型参数对损伤模型发展的影响，通过拟合参数取值与混凝土单轴抗压、抗拉强度及弹性模量之间的关系，给出了参数取值的确定方法。杨杰[25]将拉伸、压缩损伤因子引入混凝土力学行为描述中，曹胜涛[26]主要考虑约束混凝土的三维弹塑性损伤本构模型的建立，并进行相应验证。吕从聪[27]基于损伤介质力学和不可逆热力学框架，定义拉、压双标量损伤变量，引入反向加载影响因子修正拉压交替循环加载时材料的单边效应，得到了改进的弹塑性损伤本模型。

2.3 损伤模型讨论

建立本构模型时，一般做法是假设在损伤本构与虚拟无损本构之间存在某一等价关系，如应变等效、应力等效、能量等效、位移等效[27]。应力等效是指损伤本构和无损本构之间的弹性应力相等，SIMO[18]提出的各向异性损伤本构中便采用了此等效。

应变等效是指损伤本构和无损本构之间的弹性应变相等，应变等效没有考虑泊松比的损伤效应，适用于各向同性本构。在SIMO[18]、JU[11]、MAZARS[8,15]提出的各向同性损伤本构中，均采用了应变等效概念，但SIMO定义的能量范数与常用的应变张量J2范数不同。

图1给出了结合损伤力学的材料性质，解释了弹性损伤模型与弹塑性损伤模型的区别所在。弹性损伤本构基于弹性卸载考虑的，直接反应了材料的软化行为，公式表达较为简单、参数容易确定，在计算大型混凝土框架结构方面广泛被使用。MAZARS[8,15]由损伤应变能释放率构建了耗散不等式，但在损伤演化时又借助于实验拟合结果，偏于经验性，LOLAND等[5,13-14]由实验结果进行应力-应变曲线分析，半实验性的损伤模型虽误差较大，但使用较为方便；JU[11]借助热力学概念建立了各向同性、各向异性在损伤理论下的应力-应变关系。

而弹塑性损伤本构关系由于除弹性变形外，塑性应变被考虑，加之损伤影响，分析结果较之弹性本构较为复杂。RESENDE[6]将总应变分为损伤引起的应变、弹性应变、塑性应变三部分，各应变完全解耦，SALARI[28]采取全耦合形式，即在弹性、塑性应变皆考虑损伤，损伤不仅影响刚度退化，而且也影响不可恢复的变形。通过两个耦合方程将弹塑性和损伤耦合在一起，由此确定了塑性与损伤耗散的相对大小。而SIMO[18]将总应变张量分解为弹性和塑性应变，并将损伤耦合在弹性应变中，是一种半耦合的形式。FARIA[7]采用损伤加载函数控制耗散，并提供了塑性应变的演化规律。

除了弹性、弹塑性损伤本构，学者们对蠕变损伤本构、随机损伤本构以及涉及动力的损伤本构也多有关注。LI[29]通过试验，将静力损伤推广到了动力损伤模型中去。如LEE[10]采用标量退化因子给出的地震力下动力损伤模型，并分析了裂纹闭合和再张开效应。李庆斌[30-31]、邓宗才[32]通过试验给出了单轴和多轴状态下的静、动力损伤模型李杰，吴建营等[20-21]通过对弹塑性损伤本构的总结，结合混凝土材料受力行为，从概率统计学角度出发给出了随机损伤动静力本构模型。

图1 工程材料力学性质Fig.1 Mechanical properties of engineering materials

3 损伤变量演化规律

将损伤变量引入到应力-应变关系曲线中，用以表征材料的劣化，这是损伤力学研究混凝土等准脆性、脆性材料的重要内容。为了进一步探究材料劣化的发展，必须解决损伤发生依据和损伤演化规律，即损伤如何发生和怎么发展的基本问题。当前研究损伤演化规律的方法很多，大体上有以下4种研究方法[33]：(1)是根据对损伤的认识，直接给出可能的损伤演化方程表达式；(2)是通过试验拟合，建立损伤演化方程的表达式；(3)是从断裂力学出发，推导出材料的损伤演化方程；(4)是以不可逆热力学为基础，通过热力学势来建立损伤演化方程。常用的由试验法和以热力学为基础的方法。

3.1 试验法

试验法建立演化方程是在一定理论指导下，根据试验结果假定演化方程的形式，然后由试验结果拟合其中的参数。MAZARS[15]未将受拉、受压损伤变量进行组合，而是给出了损伤变量演化一般规律的率形式。MAZARS[8]考虑到混凝土受拉、受压时微裂缝产生和延伸表现的不同，将单轴受压和单轴受拉损伤变量通过系数比分配，组合得到多轴受力下的损伤变量。由实验结果给出等效应变与损伤变量之间的关系，由此得到多轴受力损伤演变规律。RESENDE[6]选择指数函数和有理函数作为损伤演化的假设公式，得到剪切损伤机制与剪切应变不变量之间的关系，以及静水压力损伤机制与体积应变之间的关系。由假设公式求得曲线的最值，并与前人实验数据进行了对比，表明拟合效果良好。LOLAND[5]提出以及多位学者修正改善的分段式损伤演化关系，其中常数取值皆依靠试验获得。

3.2 不可逆热力学法

不同于试验的经验性，基于损伤能释放率的演化规律偏于理论，较为严谨。通过与损伤变量功共轭的损伤能释放率建立损伤准则，然后基于正交法则(最大损伤耗能原理)得到损伤变量的演化方程。如LI等[34]弹塑性损伤模型不同于MAZARS[8]弹性损伤模型，定义的是隐式的损伤演化规律。COMI[35]、SALARI[28]通过加载一致性条件将损伤变量和塑性应变耦合到屈服或损伤加载函数中。SALARI基于有效塑性偏应变给出了Drucker-Prager屈服函数，采用非关联流动法则控制非弹性扩容；正体积变形将弹性损伤耗散基准与塑性流动耦合，引起弹性刚度退化及强度软化。FARIA[7]由Kuhn-Tucker条件给出加卸载准则，结合损伤准则率方程给出损伤变量演化规律。

4 结语

目前，弹性损伤本构的研究已趋于减少，塑性本构研究逐渐增多，但由于随机参数选取的任意性及考虑因素的侧重性，并无同一损伤本构的形成。但是，对大型结构计算来说，弹性损伤本构具有一定优势，但因其只考虑损伤对刚度退化的影响，不计不可恢复变形状，而弹塑性损伤本构两者皆考虑。损伤本构由最初的弹性本构发展至弹塑性本构、粘性本构、动力本构等[36-38]，与工程实际的应用是分不开的。数值模拟和验证是损伤本构正确与否的评价标准，也是损伤本构实用价值的体现。随着多学科交叉发展应用，混凝土损伤本构势必会更加多样，本着从简化参数和严谨理论支撑的角度出发，我们势必要探究更为合理简洁的本构关系。

从20世纪初开始，大家更多开始探索弹塑性本构关系，依据试验结果和数值模拟，将交叉学科理论运用于损伤本构研究，如统计学、概率论等。在学者前辈基础上对其本构模型进行修正，使其更加符合实用性和简便性，且能满足实际工程需要。但是对于混凝土损伤本构，还鲜有不依托于前人经验的新本构模型的出现。优化的计算方法与损伤理论的结合，势必会对混凝土损伤本构的发展注入崭新的活力和力量。