基于非线性维纳过程的末制导炮弹控制舱光耦贮存寿命评定

张烜工，穆希辉

(1.陆军工程大学石家庄校区 弹药工程系， 石家庄 050003； 2.陆军研究院特种勤务研究所， 石家庄 050003)

为了准确评定末制导炮弹控制舱光电耦合器的贮存寿命，选用了10枚样品，对其进行了四应力步进加速退化试验。以光耦的漏电流参数为刻画对象，对其进行加速退化建模，进而评估其长储可靠性。现阶段来看，主流的性能退化建模有三种方法：性能退化轨道方法、退化量分布方法以及随机过程方法[1]。前两种方法较为简单，应用最为广泛且技术成熟。然而这两者的缺陷在于忽略了样品在退化过程中具有的随机性。相比退化轨道方法或者退化量分布方法，基于随机过程的方法考虑到退化过程具有的随机性和动态性特征，能够更好地反映环境等因素对产品性能的综合影响，能更好地描述产品的真实退化过程。目前常用来构建退化模型的随机过程主要有三个：维纳过程、伽马过程以及复合泊松过程[2]。维纳过程和伽马过程的主要区别在于前者可以描述退化增量可能出现负数的情况，而伽马过程要求退化增量非负。复合泊松过程一般用来离散退化过程建模。三者中，维纳过程应用最为广泛。考虑到光耦的试验数据退化增量有可能为负的情况，因此确定使用维纳过程对光耦的漏电流退化数据进行建模。

1 基于随机变量的加速模型的构建

1.1 漏电流维纳过程建模面临的重点

假设光耦漏电流的退化过程可以用维纳过程进行描述：

X(t)=x0+λt+σWW(t)

(1)

式(1)中，x0是漏电流的初值；λ是漂移参数，表征退化速度；σW是扩散参数；W(t)是标准维纳过程。

漏电流随时间变化的散点连线如图1所示。维纳过程在应用过程中使用广泛，但是面对漏电流的数据进行建模时，需要对以下两个重点问题进行研究：(1)如何描述不同光耦漏电流退化的个体性差异；(2)漏电流非线性数据的处理。

图1 漏电流随时间变化的散点连线

同一批光耦，由于在制造工艺、设计误差以及环境、材料等因素的影响，表现出漏电流的退化速率不一致的个体性差异。在正式试验过程中，由图1可以看出，这种现象尤为突出。厉海涛[3]在对卫星动量轮进行可靠性评估时，将x0和λ均看作随机变量，进而对动量轮进行可靠性评估。但是动量轮的数据是在非加速试验条件下搜集的，亦即为实时监测数据，并不涉及加速问题。Wang[4]和郭波[5]将λ及σW都看成随机变量，但是所假定的分布类型并未得到检验，而且其给出的EM算法计算复杂，并不适合推广。蔡忠义[6]和唐圣金[7]将λ看成服从正态分布的随机变量，给出了考虑个体差异的寿命模型，既便于计算又达到较好的模型拟合效果。目前关于非线性数据的处理主要是采用时间尺度变换模型，时间尺度变换模型最早由Whitmore[8]提出，诸多文献采用其模型，实例证明其具有不错的实用性[9]。

基于以上的分析，将漏电流退化数据进行时间尺度变换，使漏电流的非线性数据变为线性数据，然后将λ进行随机化处理，构建考虑个体差异的加速退化模型，再采用两步极大似然估计方法对未知参数进行估计。由于x0与失效阈值相比几乎可以忽略不计，并且x0较为集中，仅有一个点游离于集中区域之外，因此将x0取均值，而不是把x0看成随机变量，如果将其看成随机变量，不仅没有必要而且还会大大增加参数估计的复杂程度[10]。

1.2 基于随机变量的加速模型

光耦漏电流的加速方程满足阿伦尼乌斯加速模型，对于基于Wiener过程的退化模型而言，假定漂移系数λ与应力相关，则相应的加速模型为：

λi=aexp(-b/Ti)

(2)

式(2)中，a、b为未知常数；Ti为绝对温度。

根据式(2)可以知道，在同一应力水平下，各个样本的退化速度是一样的。前文已述，个体性差异决定了不同光耦漏电流退化速率的不一致，误差会随着确定性参数的使用而产生。因此，提出一种基于随机变量的阿伦尼乌斯模型，用以描述光耦之间的退化差异。则在第i个应力下第j个光耦的加速方程为：

(3)

通过式(3)可知，第i个应力下考虑光耦个体退化差异的漂移系数λi可以表示为：

(4)

2 步进应力条件下基于维纳过程的数据描述与非线性退化数据的建模

2.1 步进应力加速退化试验数据统计模型

在第i个应力下，第j个光耦在第q次测量时相比第q-1次测量时性能退化增量为：

(6)

时间间隔为：

(7)

则根据维纳过程的性质可得：

(8)

2.2 非线性退化数据的建模

对于非线性的数据，采用由Whitmore[8]提出的时间尺度变换模型，将其变为线性数据。其常见函数为：

τ=Λ(t)=tc

(9)

式(9)中，c为常数且大于0。当c<1时，数据为凸型退化，当c>1时，数据为凹型退化。这两种数据均为非线性数据，而当c=1时，数据为线型退化，即线性数据。当数据中出现越来越多的非线性数据，c值开始慢慢偏离1，非线性数据越多，c值的偏离程度就越大。式(9)的优点在于可以处理线性与非线性数据并存的情况。

因此，本文采用上述变换模型，将漏电流数据[t,X(t)]改写为[τ,Y(τ)]，故可以将式(1)改写为：

Y(τ)=x0+λτ+σWW(τ)

(10)

设失效阈值为Df，则基于维纳过程的光耦漏电流首达失效时的寿命可靠度函数为：

(11)

式(11)中，Φ(·)为标准正态分布函数。经过简单推导，可以得到变换后的可靠度函数为：

(12)

令τ=Λ(t)，Y(τ)=X(t)，则式(12)可化为：

(13)

(14)

式(14)是最为关心的可靠度函数，由于λ与应力有关，因此严格来说这是一个二元函数，当应力给定时，如常应力，故又变成了一元函数[11]。因此下一步的重点就是估计式(14)中的相关参数。

3 可靠度函数的求解

3.1 两步极大似然估计法

前文将漏电流数据[t,X(t)]变换为[τ,Y(τ)]，故式(8)可变换为：

(15)

式(15)中，

(16)

(17)

(18)

(19)

可以求出：

(20)

(21)

理论上来说，式(20)和式(21)在拥有退化数据情况下解出来的，但是仔细观察上述两式，都包含b和c，因此使用两步估计法求解相关参数。

(22)

3.2 阈值与可靠度曲线

通过前面的推导和建立的模型，给定n=6，l=4，k1=23，k2=11，k3=10，k4=9，T1=70+273.15，T2=90+273.15，T3=110+273.15，T0=25+273.15，结合测量的数据，可以计算出维纳过程漂移系数、扩散系数等各项参数值如表1所示。

表1 各项参数估计值

现在所关心的是失效阈值Df。根据摸底情况来看，当Df=70 μA时，光耦进入不稳定状态，但是那时光耦已经产生了实质性失效，即不能完成预定功能。通过与光耦生产厂家进行沟通，厂家也给不出明确的说法，因为没有对该产品贮存可靠性进行深入研究，因此也无法提供具体的失效阈值。因此，经过讨论，决定设立游动阈值，即从60 μA开始，2 μA为步长，一直到70 μA。其可靠度曲线如图2所示。

图2 基于游动阈值的光耦维纳过程可靠度曲线

如图2所示，最下方的可靠度曲线为失效阈值为60 μA时的可靠度曲线，依次排列，最上方的可靠度曲线为70 μA时的可靠度曲线。随着阈值的提高，可以看出t0.9不断增加，t0.9介于220 000小时(约为25.46年)至237 600小时(约为27.5年)。

4 结论

本文构建的维纳过程可靠性模型，一是考虑到个体化差异，将维纳过程中的漂移系数随机化处理，并且建立了随机变量阿伦尼乌斯模型，使较传统未考虑个体差异而固定漂移系数的方法更符合实际；二是使用两步极大似然估计方法，可以求解未知参数的估计值，克服传统估计方法的局限性；三是对非线性数据的处理，c的估计值为1.495 1，显然大于1，按照分类来说为凹退化，如果直接将漏电流的退化数据看成线性数据，则其评定的准确度必然大大下降，因此对数据进行线性化处理，使其更加符合维纳过程的特性。