名画中的计算题

□倪 艳

人们常以为数学与艺术是风马牛不相及的，想把两者联系起来简直是天方夜谭。但在俄罗斯美术博物馆里，收藏着著名画家格丹诺夫·别尔斯基画过的一幅名叫《难题》的油画，画中的老师在黑板上写下的一道题（如下题），引起了学生们的好奇和兴趣。

这位老师名叫拉钦斯基，他原是一名享受优厚待遇的大学教授，却志愿去农村当默默无闻的小学教师，给穷苦儿童做启蒙工作。正因为油画中人物高尚的品德、渊博的学识，加上算题的奇特美妙，使得这幅油画名扬四海。

画中的算题有什么特别之处呢？画中没有给出这道题的答案，那么这道题最后的得数是多少呢？如果我们按部就班地计算，就违背了拉钦斯基出题的本意。拉钦斯基是在启发人们用脑思考算式中的规律。

经过简单试算，我们不难发现其中的奥妙。

102+112+122=100+121+144=365（102读作10 的平方，表示10×10，112读作11 的平方，表示11×11，……），132+142=169+196=365。由此，我们可以很容易得到这道难题的得数为（用分子除以分母得到得数）。

只要发现题中102+112+122=132+142，这个所谓的难题就完全可以口算。由这道题揭示的某些连续自然数平方和（自然数：像0、1、2、3、……这样的数叫做自然数；平方和：两个数先分别平方，然后相加）之间的关系，引起美国科普大师加德纳的深入思索，他开始琢磨如何用一串连续自然数的平方和列等式，这其中是否隐藏着什么规律？

经过一番思考探索，他得出了答案。原来上面的等式不过是无数个类似等式中的第二个式子而已，即连续5个自然数中，等式左边有3个自然数，右边有2个自然数；第一个等式的例子就是中国古代早已证明的“勾股数”组：32+42=52。即连续3个自然数中，等式左边有2个自然数，右边有1个自然数。由此猜想，连续7个自然数中，等式左边有4个自然数，右边有3个自然数。而试验又得出：212+222+232+242=252+262+272，证实了猜想的正确性。加德纳对此大为惊奇，于是顺此思路继续研究，终于发现了一般规律：这些等式可以无止境地一直写下去，样子像个宝塔，非常好看。如果等式右边有n项，则左边就有n+1 项，所有的连续自然数当然都得平方。最关键的是这一串连续自然数中间的一个，它应该是2n（n+1）。掌握了这一规律，大家就可以很容易写出其他类似的等式。

正因为这个奇妙的规律，人们把油画中的计算题称为“拉钦斯基问题”，以此表达对这位甘于奉献的学者的敬意。当然我们也能从加德纳探索中得到启迪：只要善于发现、勤于思考，就一定会有所收获。