旋出等边三角形和等腰直角三角形

赵莹银

一條线段绕端点旋转90°，会得到一个等腰直角三角形，而绕端点旋转60°，会得到一个等边三角形。这样得到的等腰直角三角形和等边三角形，由于题目中没有直接交代，一些同学在解题的时候往往容易忽略，找不到解题思路。

一、发现隐含的等边三角形

例1 如图1，在等边△ABC中，AC=9，点O在AC上，且AO=3，点P是AB上的一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，求AP的长。

【解析】乍一看，这道题有两个条件：

（1）一个等边三角形——△ABC;（2）两条相等的线段——OD=OP。

但单凭这两个条件却不容易解决问题。事实上，由于OD=OP，∠DOP=60°，我们可以得知△DOP也是等边三角形，因此本题实际上是我们熟悉的一个特别简单的图形（如图2）。

在图2中，△COD≌△APO≌△BDP，这样，问题就很容易解决了。

【点评】当一条线段绕着一个端点旋转60°时，会得到一个等边三角形。了解这一点，问题就会迎刃而解。

例2 如图3，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF。则在点E运动过程中，DF的最小值是。

【解析】由例1可知，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC后，△CEF是等边三角形，因此考虑连接EF，这就得到一个双等边三角形的模型。等边△CEF与等边△ABC具有公共顶点，由八年级全等的知识很容易证得△ACE与△BCF全等。

由于∠CAE的度数固定，是30°，根据全等三角形的对应角相等，可求得∠CBF=30°，所以点F始终在一条过点B，且与BC夹角为30°的直线上运动。这道题就转化为点D到直线的最短距离问题，一般用垂线段最短和30°所对的直角边是斜边可解决问题。

【点评】本题中“△CEF是等边三角形”是一个隐含的条件，发现这个隐含条件对于寻找本题的解题思路特别重要。

二、线段旋转90°，得等腰直角三角形

例3 如图4，等腰Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点，连接BD，将线段BD绕点D顺时针旋转90°得到线段DE，DE与AB相交于点F，过点D作DG⊥AB，垂足为点G。若EF=5，CD=[22]，求△BDG的面积。

【解析】本题中已知一个等腰直角三角形（△ABC），还隐含着另一个等腰直角三角形，那就是线段BD绕点D顺时针旋转90°，得到线段DE后，得到的△BDE，如图5。

由两个等腰直角三角形，很容易证明△BCD与△BAE相似，即可求出AE=4。在Rt△AEF中，由于EF=5，根据勾股定理，可求得AF=3。然后利用△AEF∽△GDF，△AEF∽△DBF，设GF=3k，可得DF=5k，DG=4k，BD=[203k]，由于DE=5k+5，所以[203k]=5k+5，从而求出k的值，也就求出了DG和BG的长。利用三角形的面积公式可求出△BDG的面积。

【点评】解决本题要发现隐含的等腰直角△BDE，得到一个双等腰直角三角形的相似模型，求出∠BAE=90°，然后证得△AEF∽△GDF，△AEF∽△DBF。因此，发现隐含的等腰直角三角形是解决本题的关键。

（作者单位：江苏省海安市墩头镇仇湖初级中学）