余维有限的内蕴理想表示形式的存在唯一性∗

时红廷 李慧敏 陈江涛 高 畅

(首都师范大学数学科学学院,北京 100048)

1 引言和术语

分岔理论研究系统由于参数变化而引起的稳定性变化过程,它分为静态分岔和动态分岔两个方面.本文所研究的内容属于静态分岔理论.静态分岔理论研究方程多个解相遇时的奇点情况.用来研究静态分岔和动态的Hopf分岔问题的奇点理论和群论方法最初是在1970年前后由Thom R提出,随后由Mather J给出了严格的数学证明.此后,Arnold V I([1],[2])以及Golubitsky([3～7])等人的工作大大丰富和发展了该方面的理论和应用,本课题组的部分相关工作参见文献[9～15].

设f∶U→R和g∶V→R分别是在原点(0,0)∈R2的邻域U和V上有定义的C∞函数.若存在(0,0)∈R2的邻域W⊂U∩V,使得f|W=g|W,则称f和g等价.显然,这在由(0,0)∈R2的邻域到R中的映射组成的集合中是一个等价关系,称此等价关系的每个等价类为一个芽.所有这些芽构成芽空间εx,λ,同理可定义芽空间ελ.

定义 1[7]设g∈εx,λ,称(x0,λ0)是g(x,λ)的奇点,如果g(x0,λ0)=0,且g′x(x0,λ0)=0.

定义 2[7]设g∈εx,λ,称(x0,λ0)是g(x,λ)的分岔点,如果g(x0,λ0)=0,且当参数λ由小于λ0变为大于λ0的过程中,n(λ)发生了变化,其中n(λ)表示g(x,λ)=0的解的个数.此时,我们也称g(x,λ)=0是以x为状态变量,λ为分岔参数的分岔问题.

静态分岔理论用于研究形如h(x,λ)=0的分岔问题,这里h∈εx,λ.对它引进等价关系,使之保持分岔情况不变.

定义 3[7]设g,h∈εx,λ,称g与h等价,如果g(x,λ)=S(x,λ)h(X(x,λ),A(λ)),其中S,X∈εx,λ,A∈ελ,且S(0,0)＞0,X′x(0,0)＞0,X(0,0)=0,A(0)=0,A′(0)＞0.

特别地,若A(λ)≡λ,则称g与h强等价.

定义 4[7]1)εx,λ中的线性子空间F称为εx,λ中的理想,如果对任意的f∈F和a∈εx,λ,总有af∈F.

2)εx,λ中理想F称为内蕴理想,如果对g,f∈εx,λ,当f∈F且g与f强等价时,g∈F.

定义 5[7]设g(x,λ)∈εx,λ,g(x,λ)的限制切空间是指εx,λ中有限生成理想RT(g)=[g,xgx,λgx].

对于εx,λ中线性子空间V,用codimV表示V在εx,λ中的余维数.全文中μ=＜x,λ＞也即μ=

命题 1.1[7]设F是εx,λ中的真理想.那么,codimF＜+∞当且仅当存在正整数k使得μk⊂F.

命题 1.2[7]设F是εx,λ中的内蕴理想,且codimF＜+∞,那么,F可表为下述形式：

其中m,mi,ri(i=1,2,3,…,n)皆为非负整数.

文献[7]指出,若F是εx,λ中的真内蕴理想,则可选取命题1.1中的非负整数m,mi,ri(i=1,2,3,…,n)使满足

并将单项式xm,xm1λr1,xm2λr2,…,xmnλrn定义为F的内蕴生成元.

但是,至今为止,对任意给定的εx,λ中的真内蕴理想F,国内外相关学者并没有给出上述非负整数列的存在唯一性证明.

本文将证明,对任意给定的εx,λ中的真内蕴理想F,存在唯一的一组形如(1.2)的非负整数列m,mi,ri(i=1,2,3,…,n)使得(1.1)式成立.此结论的重要性在于：我们首次证明了,对任意给定的εx,λ中的真内蕴理想F,其内蕴生成元组是唯一的.

内蕴理想是应用奇点理论研究静态分岔问题的重要工具,且内蕴生成元是解决分岔问题的识别问题的关键性概念.因此,对任意给定的εx,λ中的真内蕴理想F,其内蕴生成元组必须是唯一的,否则,内蕴生成元的概念将无从谈起.所以,本文的结果弥补了文献[1]中的一点漏洞,是有意义的工作.

设F是εx,λ中理想,且codimF＜+∞,则易知：F是εx,λ中真理想当且仅当F≠εx,λ.

因此,本文只需对真理想进行研究即可.

2 预备性命题

在给出主要结论之前,首先给出若干命题.

命题 2.1设F是εx,λ中真理想,且codimF＜+∞.那么,F是内蕴理想当且仅当F可表为下述形式之一：

(1)存在正整数k,使得F=μk;

(2)存在正整数k,s和非负整数ki,li(i=1,2,3,…,s),使得

证明：命题1.1和命题1.2的直接推论.

命题2.2设F是εx,λ中真内蕴理想,codimF＜+∞,且对任意正整数m,F≠μm.那么,存在正整数k,s和非负整数ki,li(i=1,2,3,…,s),使得

其中k＞k1+l1＞k2+l2＞……＞ks+ls＞0,且0＜l1＜l2＜……＜ls.

证明：因为F是εx,λ中真内蕴理想,codimF＜+∞,且对任意正整数m,F≠μm,于是由命题1.2知,存在非负整数k,s,ki,li(i=1,2,…,s),使得(2.1)式真.

因为F是εx,λ中真理想,所以k是正整数(若不然,则k=0,于是μk=μ0=εx,λ,于是F=εx,λ,这与F是εx,λ中真理想相矛盾.)

若某个li=0,则μki＜λli＞=μki,从而μk+μki＜λli＞=μk+μki=μmin{k,ki};又因对任意正整数m,F≠μm,故li不全为零.所以,不妨设li(i=1,2,…,s)皆为正整数.

若对某个ki+li,有ki+li≥k,则μki＜λli＞⊂μk,从而μk+μki＜λli＞=μk,于是μki＜λli＞可从表达式中去掉.所以,不妨设k＞ki+li(i=1,2,…,s).

若对某i,j,有li=lj,则μki＜λli＞+μkj＜λlj＞=μmin{ki,kj}＜λli＞.所以,不妨设i≠j时,li≠lj.所以,不妨假设0＜l1＜l2＜……＜ls.

若对某个i,ki+li≤ki+1+li+1,其中1≤i＜s.因li＜li+1,于是,μki+1＜λli+1＞中所有生成元皆在μki＜λli＞中,从而μki+1＜λli+1＞+μki＜λli＞=μki＜λli＞,于是μki+1＜λli+1＞可从表达式中去掉.于是,不妨假设ki+li＞ki+1+li+1(i=1,2,…,s-1).

综上知,命题2.2得证.

3 主要结论和证明

下述定理是命题1.2的推广.

定理 3.1设F是εx,λ中真理想,且codimF＜+∞.那么,F是内蕴理想当且仅当F可表为下述形式之一：

(1)存在唯一的正整数k,使得F=μk;

(2)存在唯一的一组正整数k,s和非负整数ki,li(i=1,2,3,…,s),使得

其中k＞k1+l1＞k2+l2＞……＞ks+ls＞0,且0＜l1＜l2＜……＜ls.

证明：⇐)(充分性)显然真.

⇒)(必要性)设F是εx,λ中真内蕴理想,且codimF＜+∞.

因codimF＜+∞,于是由命题1.1知,存在唯一的正整数k使得μk⊂F,且μk-1⊄F.

若F=μk,则必要性得证.不妨设对任意正整数m,F≠μm.于是由命题2.2知,存在正整数k,s和非负整数ki,li(i=1,2,3,…,s),使得(3.1)式真,其中k＞k1+l1＞k2+l2＞……＞ks+ls＞0,且

下面将证明：F满足(3.2)的形如(3.1)的表达式是唯一的.

欲证F满足(3.2)的形如(3.1)的表达式是唯一的,即要证

断言1：k=

事实上,若断言1不真,则k≠不妨设k＜则xk∈μk⊂F,也即有

于是可设

其中a(x,λ)∈εx,λ.

断言2：

也即

可设

断言3：

事实上,若断言3不真,则由断言2,不妨设ks由于

且

所以

可设

其中ai(x,λ)∈εx,λ(i=0,1,…,k),aji(x,λ)∈εx,λ(j=1,2,…,s;i=0,1,…,kj).因

断言4：

可设

其中ai(x,λ)∈εx,λ(i=0,1,…,k),aji(x,λ)∈εx,λ(j=1,2,…,s;i=0,1,…,kj).因

断言5：

事实上,若断言5不真,则由断言4,不妨设ks-1＜,且ls-1＞.由于

且

所以

可设

其中ai(x,λ)∈εx,λ(i=0,1,…,k),aji(x,λ)∈εx,λ(j=1,2,…,s;i=0,1,…,kj).因

依此类推,我们证知：

断言5得证.

断言6：s=n.

事实上,若断言6不真,不妨设n＜s.由断言1和(3.7)知,

可设

其中

综合断言1～6知,定理3.1得证.