高中数学中的立体几何的解题技巧

黄灿

【摘要】立体几何是高中数学学习的重点内容，同時也是一大学习难点.掌握正确高效的解题技巧对立体几何的学习尤其重要.作为高中生，我们必须重视立体几何的学习，除了多听例题讲解、多做练习之外，还要探究怎样更快更正确地去解题.在练习中总结经验，掌握更丰富的解决技巧，才能开展更深入、更有效的学习，促进立体几何学习质量的提高.

【关键词】高中学生;数学学习;立体几何;解题技巧

高中立体几何是高中数学学习中公认的难点内容，我们在学习过程中必须有一定的立体感，才能理解立体几何的概念、原理、解题思路和方法.这就需要我们在汲取知识的同时，有意识地培养自己的立体感，拓展解题思路，再加上反复练习、总结经验，必然有助于立体几何解题能力的提高.以下将结合本人的学习经验，谈一谈立体几何的解题技巧.

一、建立空间观念，提升自身空间想象力

进入高中之后，我们不但需要对平面图形有所了解，而且还需要逐步了解立体图形，这对我们是一种挑战，更是知识学习的飞跃.我们要清晰认识到飞跃需要一个过程，也就是知识过渡和进阶的过程.在接触立体几何之初，我们可以自己尝试制作空间几何模型，根据教材内容进行观察对照.或者结合教材上的立体图形进行反复揣摩，在头脑中构建起点、线、面、角的关系，尝试从不同角度作辅助线，这些实践都有利于我们建立立体空间感.在具体学习过程中，我们要结合自己的知识理解能力选择更有效的学习方法，在反复观察、探究、思考的过程中形成正确的立体空间观念，提高自己的空间想象力，为后续学习的开展打下良好基础.刚刚接触立体几何时，要有意识地强化空间感意识，平时主动去构建较为简单的模型，以此提高自身的立体空间想象力.例如，先从直观的长方体、正方体制作入手，对这些模型进行多层面、多角度的观察，寻找点线面之间的关系，结合具体题目进行延伸，这样的思维模式对提高立体几何的解题能力有很大帮助.

理解立体几何图形中线与面的关系，才能提高解题正确率.这就需要在学习过程中强化自己的绘图能力，通过亲自动手描绘建立起立体感，诠释其中的数量关系.最初可以从较为简单的立体图形绘制入手，在掌握绘制技巧之后，可以适当进行延伸，掌握绘图方法对日后解答立体几何问题有很大帮助，尤其是对空间想象力和图形联想能力的提高很有价值.

二、转换图形，学会运用运动观点进行解题

在学习立体几何的过程中，一定要有灵活的思维，才能及时应对题型及内容的变化.譬如，在“最值与范围”相关问题的解答中，可以尝试将图形进行灵活变换，引入运动变化原理，才能对问题做全面分析.利用这样的解题方法，能够更快、更正确地得出解题答案.

例如，如图1所示，直三菱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形，∠ABC=90°，BC=CC=2，AC=6，BC1上的点P可以任意进行移动，请将CP+PA1的最小值求出.

解析把A1和B连接在一起，沿BC1展开△CBC1，其与△A1B1C1在共同平面中，如图2所示，把A1和C连接，因此，CP+PA1D的最小值则是A1C的长度.计算可得∠A1C1C=90°，∠BC1C=45°，所以∠A1C1C=135°.通过余弦定理计算，可得出A1C=52，所以，CP+PA的最小值为52.

上述问题能够强化我们对最小值距离概念的认识，并掌握相应的计算方法，通过题型变化来解答问题.因此，在立体几何“最小值与范围”的学习中，我们可以合理转变图形位置，引入变化观念对既有问题进行分析，找到正确的解题方式，以此提高立体几何的解题效率.

三、构建未知关系，简化运算

在解答立体几何问题时，我们也可以采用“设而不求”的方法，也就是根据已知条件设定最佳未知数，从而建立起已知和未知数量之间的关系，这样就能提炼出解决问题的方法.但是，所设置的未知数却无须在解答过程中求出.如果立体几何问题较为复杂，而且已知条件不足，就能够运用“设而不求”的方法进行解答，设置合理参数，设定既有问题和已知条件的关系，避开“不求”部分和参数，从而更有效地解决问题.

例如，S-ABCD为正四棱锥，截取平面A1B1C1D1为多面体，保证与地面平行，地面上部面积为Q1，下部地面Q2，侧面面积P，求出这一多面体的对角面面积.

根据已经学过的知识，多面体对角面呈等腰梯形，通过上下地面面积能够求出上下底的长，高则为多面体高.如果直接代入计算，不但过程复杂而且难度较大.而运用“设而不求”的方法，则能够假设对角面面积为S，上下地面边长设为a，b，高为h，斜高h′，计算可得

S=2+a+2b2h=22（a+b）（h′）2-b-a22

=24（a+b）4（h′）2-（b-a）2

=24[2（a+b）（h′）]2-（b2-a2）2

=24p2-（q2-q1）2.

利用上述方法，不但能够有效减少计算步骤和计算难度，而且还能提高解题效率.运用这一方法需要我们多观察、多思考，建立起新旧知识的联系，充分发挥空间联想力，从而提高解决正确率.

四、结语

综上所述，在学习立体几何的过程中，首先要建立立体空间概念，懂得如何通过变换图形、巧设条件寻找更简便、更正确、更高效的解题方法.正确理解立体几何图形的数量关系，在解题过程中认真分析、反复求证，主动寻求解题捷径，善于总结和应用经验，以提高自己的解题能力.