微积分在运动学中的应用模型

郑亚芹

摘要：发展微积分的原始灵感之一来自于试图去理解运动物体的速度、距离和时间的关系，因此运动学在微积分的应用价值中无可替代。首先介绍了运动学中的基本组成元素，并且微积分渗透于此基本理论。论述了两个基本的运动模型，分别是在一维空间和二维空间中的应用举例。

关键词：微积分;运动学;直线运动;平面曲线运动

一、运動学的基本组成1援路程和位移路程和位移之间有着重要的区别。首先，路程总是非负的，而位移可以是负的。一般规定物体向右或向上运动是正的位移。位移是负的表示物体终止于它的起始点的左侧或下方。其次，位移= （终点位置）-（初始位置），所以位移仅涉及终点和初始位置，与物体在运动过程中的情况是无关的。例如开车去1 千米以外的商店，里程计显示3千米表示总路程是3千米，但位移只有1千米。若物体只向同一方向运动，则路程就是位移的绝对值。2援平均速度和平均速率速率是路程关于时间的改变率，速度是位移关于时间的改变量。

一方面，速度有符号。一般向右或向上运动为正速度，相反是负速度。另一方面，速率非负，它反映了运动的快慢大小。若汽车在长直的公路上行驶，一定时间内的平均速度为负的，则它终止于起始点的左侧。若一定时间段内的平均速度是0，则汽车终止于起始位置，但或许此时有很高的平均速率。而如果汽车沿着一个方向行驶，则平均速率就是平均速度的绝对值。3援瞬时速度和速率设物体沿直线运动的方程是s=f（t），其中是从原点开始到时间t 的位移，f 是物体的位置函数。此时间段：平均速度=位移时间越f（a+h）-f（a）h 。定义v（a）是t=a的速度（瞬时速度）。令h 趋向于0，则时间段[a，a+h]变得越来越短，于是平均速度的极限lhi寅m0 f（a+h）-f（a）h =f'（a）=v（a）[1]，而速率是速度的绝对值f'（a）。4.速度和速率的最值关系若物体沿直线运动的最大和最小的速度是5 和-7。速度-7 意味着速率是7，这是物体的最大速率。最小的速率是零，发生在物体转头的点。对于连续的速度函数而言，当最大的和最小的速度有相反符号或其中之一为零时，最小的速率是零;当最大的和最小的速度都是正或都是负时，最小速率是最大或最小的速度绝对值的较小者。所有情况中，最大速率是最大或最小的速度的绝对值中的最大者。5.速度、速率和加速度物体运动的位置函数是s=f（t）。则物体的加速度是瞬时比率，是速度关于时间的改变率，是位置的二阶导，即a（t）=v'（t）=s"（t）[2]。

如果物体向下越来越快的运动，速率在增加，但加速度在减小，因为其速度变成了更大的负值。注意加速度不是速率的改变率。而物体向下运动且变慢时，速率在减小，而速度变大—因为速度变成了更小的负值—它有一个正的加速度。因此速率增加，当速度是正的且在增加（v 和a都是正的）或当速度是负的且在减少（v 和a都是负的），即当速度和加速度有相同符号时物体加速（物体被推向其所运动的同一方向）。

二、直线和平面运动物体的运动遵循：（1）若v跃0，则物体向右运动且s 增大;若v约0，则物体向左运动且s 减小;（2）若a跃0，则v 增大;若a约0，则v 减小;（3）若a 和v 同为正或负，则速率增大或物体加速;若a 和v 符号相反，则速率减小或物体减速;（4）若s 是t的连续函数，则当v 是0 且a 不是0 时物体转向;注意v 是0 不代表物体转向。若物体在[a，b]的有限时间段（分区）的速度是常数，位移便是以竖直轴表示速度、水平轴表示时间及t=a和t=b 所围成的有向面积[3（] 图1）。

路程是图2 中速率v 对时间t图像中所示阴影部分面积。若速度是任意曲线函数v（t），则从t=a到t=b 的位移是从a到b 的速度曲线下方的有向面积，图3 的阴影面积便是竖直轴上的速度乘水平轴上时间的结果。2援平面曲线运动（二维空间中的运动）物体在平面或空间中运动的位置函数可表示成参数、极方程或向量函数。位置函数的一阶导是速度向量，二阶导是加速度向量。计算向量函数的导数的方法是轮流对各分量求微分。若不止求一阶导，则重复上述过程到需要的数阶导数。同样也可对向量函数逐项求积分。物体在时间a的平面曲线上的位置是R軑（a）=（x（a），y（a））。

物体在点t=a的速度是数值向量R軑'（a）=（x'（a），y'（a）），指出了物体在曲线上的运动方向。图像上可表示为与曲线在点（x（a），y（a））相切的有向线段（向量）。x'（a）和y'（a）的比率是曲线在t=a的切线斜率，因曲线的速度向量就在曲线的切线上。所以曲线的斜率

参考文献：

[1]James Stewart. Single Variable Calculus Early Transcen原dentals. Brooks/Cole Cengage learning，2012：104-110.

[2]Shirley O. Hockett，David Bock. Barrons AP Calculus. 世界图书出版社，2017：181.

[3]David S. Kahn. The Princeton Review Cracking the AP Calculus AB & BC Exams. Random House，Inc. New York，2009：159-166.

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