树木材积的分数阶GM（1,2）灰色预测模型

阙素琴，林艳芳，滕忠铭

（福建农林大学 计算机与信息学院， 福建 福州 350002）

灰色系统理论是1982年由我国学者邓聚龙教授创立的（文献[1]），在研究既含已知信息又含未知信息的灰色系统的变化规律方面，有着广泛的应用前景。从灰色系统理论的观点出发，森林生态系统是典型的灰色系统，以往采用经典数学与数理统计的方法研究森林生态系统，要受大样本参数含量及独立、线性、正态等方面条件的限制，很难达到要求，因而失去了实际意义，应用灰色理论则能在信息量较少的情况下，充分利用白色信息建立模式，研究系统的功能，结构及动态变化。用灰色参数，灰色方程，灰色矩阵来描述灰色系统的灰色过程，会更符合客观实际的要求。本文拟就日本落叶松材积生长量进行灰色动态模拟的探讨。灰色预测模型主要用于时间短、数据资料少、波动不大的预测问题，但对波动性较大的数据列拟合较差，精度较低；与GM（1,1）模型相比，分数阶GM(1,2)模型在输入端引入与主序列具有强关联特性的参考序列，能够有效解决波动性变化序列预测问题[2]。采用分数阶GM（1,2）模型提高了对日本落叶松材积的预测精度。

1 林场自然概况与数据来源

1.1 林场概况

湖北省建始县国莹长岭岗林场，林场中心位置北纬30°48′、东径110°03′。属北亚热带气候。场内地势较高，海拔1 600～1 900 m，相对高差200 m，平均坡度25°。林场年平均气温11.7 ℃，极端最高气温29 ℃，极端最低气温-17.2 ℃，无霜期203 d，年降水量1 884.3 mm，相对湿度85%，土壤为山地棕壤，成土母质系石灰岩、硅质页岩等，土层厚度80 cm 左右，质地中壤至轻壤，土壤有机质含量较高，氮磷含量较低。森林植被丰富,主要乡土乔木树种有水冬瓜、擦木、漆树、鹅掌揪、桦木、锥栗等。主要引进树种有日本落叶松、华山松等。林场立地较好，差异不大，自然条件优越，并且日本落叶松速丰产林，充分发挥了林地生产力，提高了单位面积产材量，能不断满足社会需求，解缓木材供求矛盾。

1.2 研究数据来源

选取长岭岗林场日本落叶松的平均材积作为分数阶GM（1,2）模型的系统特征序列，通过计算材积与平均胸径、平均树高、D2H 的关联度分别为0.66、0.67、0.78，并选取关联度最高的作为相关因素序列，为了便于比较，所有数据来源于参考文献[2](见表1)。

表1 日本落叶松平均胸径、平均树高、D2H 平均材积原始序列

2 研究方法

2.1 分数阶灰色累加GM（1,2）模型的原理

定义1[1]设原始非负序列，为系统特征数列序列为相关因素序列。

定义2[1]设如定义1所示，是的分数阶累加生成序列的r 阶紧邻生成均值序列，其中

称方程

为r阶累加灰色GM（1,2）模型。

其中Y,B 分别为

定义3[1]参数如定义2 所述，则称

为r 阶累加灰色GM（1,2）模型x1（r）（k）+x2（r）（k-1）+az1（r）（k）=bx2（r）的白化微分方程。

将白化微分方程的时间序列响应（2）式进行还原得到

这里Γ（r+1）=r！，Γ（i+1）=i！，Γ（r-i+1）=（r-i）！。

2.2 分数阶GM（1,2）模型的残差检验

残差检验是预测检验的常用方式， 它是实测值和预测值之间的误差进行的一种逐点检验的方法，通过个点的相对残差值，可以计算出预测模型的精度P。令绝对误差序列为：

相对误差序列为：

平均相对残差为：

精度为：P=1-Δ。

若P≥0.8，模型通过残差检验；若P＜0.8，则须先修正模型使之满足对精度的要求才可以进行预测；精度越高，模型拟合得越好。

3 结果分析

为了验证本文模型的有效性，根据文献[2]的数据以日本落叶松的平均材积作为主要因素，以D2H 作为相关因素建立分数阶GM（1,2）模型，并用本文模型与文献[2]的传统GM（1,2）模型的预测值、实测值进行对比，说明本文模型极大地提高了预测精度。

用文献[2]中的数据进行预测，利用MATLAB 软件建立分数阶GM（1,2）模型，求得模型的最优阶数r=0.26，对(材积原始序列)和（D2H 原始序列）作为r=0.26 阶灰色累加（r-AGO）得：

于是有

所以就有a=2.652 1，b=0.944 8 得到估计模型为：

可得分数阶GM（1,2）模型的时间响应式为：

根据（3）式作累减还原计算得原始数据的预测值为：

将文献[1]的预测值与本文模型求出的预测值进行对比（见表2）根据表2数据，绘制各模型拟合曲线如图1所示，各模型残差图如图2所示。

表2 两种树木材积预测模型的残差及精度比较

图1 原始数据与预测值比较

图2 分数阶GM（1,2）模型和GM（1,2）模型残差值的比较

由表2、图1与图2可以得出如下结论：

根据日本落叶松阶龄分别为26、28、30、32、34 的材积生长变化测量数据建立的分数阶GM（1,2）模型，在对材积指标的还原检验中，其模型计算数据与实际值非常接近，模型的精度满足P≥9，模型通过残差检验。由图2可以看出，本文提出的分数阶GM（1,2）模型的残差值与传统的GM（1,2）模型相比，本文的模型波动小的多，相对稳定；由表2和图1的结果表明，虽然传统的GM（1,2）模型的精度也通过残差检验，但分数阶GM（1,2）模型的变化趋势与原始数据更接近，预测值与实测值更符合，拟合效果更好，精度达到98.005%。由表2可以看出，分数阶GM（1,2）模型将传统的GM（1,2）模型拟合的平均相对误差由7.3%降至1.905%，极大提高了模型的精度，可适用今后在对日本落叶松平均材积值的预测。

本文是通过MATLAB 软件， 以树木平均材积数据作为主要因素序列数据和关联度最高序列D2H 作为相关因素序列的数据构建分数阶灰色累加GM (1,2) 模型， 得到预测模型为通过寻找在0 阶与1 阶之间的最优r=0.26,从而使得模型的精度得到大幅度提高，极大地提高了预测的准确性。从而节约了林场在人力、财力、物力方面的支出。

本文建立分数阶灰色累加GM（1，2）模型，是基于灰色理论对数据要求少，时间短的特点，并选取关联度最高序列D2H 作为相关因素序列，对树木材积在无损伤、不伐树或少伐树基础上进行预测，而且预测结果非常接近真实值，预测精度相当高；可以相对准确地预测未来几年的林木生长状况，丰富对林木的动态监测。另外，本文是根据日本落叶松树木材积阶龄为26～34 中每隔一年的数据进行建模的，预测今后5～10年内的材积生长可以达到一个比较合理的预测值。当数据信息较多时，可以采用新陈代谢理论或建立多因子灰色模型，采用增加权重的办法来提高数据序列的的精确度。

4 结论

由于灰色预测法是一种能够将无序离散的原始序列转化为有序序列， 得到精度较高的预测结果，而且对数据要求少，本文建立分数阶灰色累加GM（1，2）模型，对日本落叶平均材积的进行预测，以减少野外的工作量，节约成本。从预测结果可以看出，平均材积与实际平均材积相比，其平均相对误差在2%以内，预测效果较好。传统的GM（1,2）模型和分数阶GM（1，2）模型的精度都符合建模要求，但分数阶GM（1，2）模型的精度高于传统的GM（1,2）模型。分数阶GM（1，2）模型拓宽了灰色理论在对树木材积研究的应用范围，为树木材积的预测提供了一种新的方法。