概率论教学中关于分布函数右连续的探究

摘 要：在《概率论》关于分布函数的性质的教学中，关于分布函数的右连续性，大多数教材都没有给出证明，而是特别强调证明需要较专业的数学知识。文章利用基本的连续性质，对分布函数右连续给出了严格的证明，并且探讨了如何利用分布函数的右连续性求解随机变量落在任何区间内的概率问题。

关键词：随机变量;分布函数;函数的连续性;分布列

中图分类号：0211

文章编号：2095-624X（2019）04-0040-02

概率论是一门古老而年轻的数学分支学科。说它古老，是因为早在公元前1400年，古埃及人为了忘记饥饿，经常聚集在一起玩一种类似于今天掷骰子的游戏。到17世纪，将掷骰子作为赌博的方式在欧洲许多国家的贵族之间盛行，这是概率论产生的原动力。1654年费马与帕斯卡通信中关于分赌注问题的讨论被公认为概率论诞生的标志，从那以后进入相对快速发展的时期。说它年轻，是因为直到20世纪30年代，概率的公理化体系建立之后，概率论才算是一门严谨的数学学科。今天，概率论与数理统计在工农业生产、经济建设、管理决策和科技进步等方面发挥着越来越重要的作用。

在概率論历史上，随机变量的引入是除概率的公理化定义以外的另一个里程碑。其意义在于把随机现象结果数量化，从而为利用数学知识解决概率问题铺平了道路，同时也把对试验结果的概率研究问题转化为研究随机变量的概率分布问题。随机变量的分布函数是研究随机变量的极为重要的工具，任何随机变量都有分布函数，而且分布函数由随机变量本身唯一决定。在《概率论》中，关于分布函数的右连续性，大多数教材都没有给出证明，本文则给出了这个性质的严密的证明，并探讨了它的应用。

一、准备工作和主要结论

1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫首次提出概率的公理化定义，他规定映射P的对应法则由下面三条公理确定，这就是我们通常所说的概率的公理化定义。

设某个随机试验的样本空间为Ω，E为Ω上所有事件组成的集合，称满足下列三条公理的映射P（·）为概率：

（1）非负性：若：A∈E，则P（A）≥0;

（2）正则性：P（Ω）=1;

（3）可列可加性：若A1，A2，...，An，...是一列两两互不相容的事件，即AiAj是不可能事件，其中i，j=1，2，...，i≠j，则P（∪Ai）=∑P（Ai）。

变量X是从样本空间Ω到实数集R的一个映射。也就是说，对于试验的每一个可能结果ω，都对应着一个实数X（ω）。试验结果ω具有随机性，而X（ω）依赖于ω，是随着试验结果不同而变化的量，我们称这个变量为随机变量，常把X（ω）简单写成ω。

设X是任意一个随机变量，称如下定义的函数

为X的分布函数，记作X～F（x）。

任何随机变量都有分布函数，而且分布函数由随机变量本身唯一决定。分布函数F（x）是事件{X≤x}的概率，也表示X落在半直线（-∞，x]内的概率。

定理1.1分布函数F（x）具有右连续性：对任何x∈R，有F（x+0）=F（x），其中F（x+0）=limF（t）表示F（x）在x点处的右极限。

和定理1.1的证明过程类似，我们可以证明下面的重要的结论。

定理1.2令随机变量X的分布函数为F（x），那么对于任意的实数a，P（X

应用随机变量X的分布函数定义、分布函数的右连续性和定理1.2，我们可以求出随机变量X落在任何区间内的概率。

推论1.3令随机变量X的分布函数为F（x），令F（b-0）表示limF（x），那么对于任意的实数a和b（a

（1）P（X≤b）=F（b）;

（2）P（x

（3）P（X=a）=F（a）-F（a-0）;

（4）P（a

（5）P（a≤X

（6）P（a≤X≤b）=F（b）-F（a-0）;

（7）P（a

二、主要定理的证明

引理2.1对于分布函数F（x）和任意的x0∈R， limF（x）=b的充要条件是对于任意的数列{xn} ，如果xi+1=xi，i=1，2，3，...并且limxn=x0都有limF（xn）=b成立。

证明：必要性是显然成立的，接下来我们证明充分性。

参考文献：

[1]袁德美，安军，陶宝.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2011.

[2]汪嘉冈.现代概率论基础（第二版）[M].上海：复旦大学出版社，2005.

基金项目：重庆市基础与前沿研究计划项目（cstc2015jcyjA00009）;重庆市教委科学技术研究项目（KJ1500628）;国家自然科学基金青年科学基金项目（11501064）。

作者简介：蔺友江（1975—），男，河北临西人，副教授，博士，研究方向：凸几何分析。