二次函数极差的规律与应用

2019-06-11 12:47刘国华
中学数学研究(江西) 2019年5期
关键词:偶函数极差对称轴

刘国华

江苏省海安市实验中学 (226600)

二次函数是重要的基本初等函数之一,备受命题者的青睐,许多高考题、调研试题均以二次函数为背景考查学生素养.其中双重最值问题综合性强,难度大,能力要求高,是学生眼中的难题.笔者从熟题入手,优化处理方法,揭示其变化规律,帮助学生提高解决此类问题的能力.

1.再现熟题,方法优化

为表述方便,将函数f(x)在闭区间[m,n]上的最大值与最小值的差称为函数f(x)在闭区间[m,n]上极差.

引例若二次函数f(x)=a(x-h)2+k(其中a≠0),求函数f(x)在区间[x0-l,x0+l](其中l>0)上的极差.

解析:记区间[x0-l,x0+l]中点x0到对称轴x=h的距离为d,则d=|x0-h|≥0.

(1)若d>l,极差为|f(x0-l)-f(x0+l)|=

|2al(2x0-2h)|=4|a|l|x0-h|=4|a|ld.

(2)若d≤l.

①当x0-l≤h

②当x0≤h≤x0+l,即d=h-x0时,极差为|f(x0-l)-f(h)|=|a(x0-l-h)2|=|a|[(h-x0)+l]2=|a|(d+l)2.

由①②可知,若d≤l,极差为|a|(d+l)2.

综合(1)(2)得:若d>l,极差为4|a|ld;若d≤l,极差为|a|(d+l)2.

2.反思结果,规律显现

揣摩上述结果,分析二次函数f(x)=a(x-h)2+k(其中a≠0)在区间[x0-l,x0+l](其中l>0)上的极差的影响因素,不难得出如下结论:

规律1 在区间[x0-l,x0+l](其中l>0)上,|a|越大极差越大.

规律2 在区间[x0-l,x0+l](其中l>0)上,l越大极差越大,即区间越长极差越大.

规律3 在区间[x0-l,x0+l](其中l>0)上,d越大极差越大,即区间中点到对称轴的距离越远极差越大.

由规律3易得规律4,当d=0,即二次函数的对称轴处于区间中点时,极差取到最小值|a|l2.

以上4点指明了二次函数在闭区间上最大值与最小值的差(即极差)的变化规律.从最近发展区出发,多思考一点,形成直达本质的认识,有利于提高学生解决问题的能力.

3.应用规律,难题突破

例1 (2017全国高中数学联赛一试A卷第9题)设k,m为实数,不等式|x2-kx-m|≤1对所有x∈[a,b]成立,则b-a的取值范围是.

例2 (2018年江苏省海安市高三期中调研)已知函数f(x)=ax2+bx+c(其中a,b,c为实数,且a≠0),若对于任意b,c,存在x0∈[1,2],使得

|f(x0)|>1,则实数a的取值范围是.

例3 (2018年南师大附中高三期中考试)已知实数a,b,c∈[0,4],若a2,b2,c2是公差为2的等差数列,则|a-b|+|b-c|的最小值为.

取函数f(x)=x2,问题转化为:若0≤a

例4 (2018年金陵中学高三12月检测)已知偶函数y=f(x)满足f(x+4)=f(4-x),当x∈

图1

解析:因为y=f(x)是偶函数,所以f(x+4)=f(4-x)=f(x-4),即函数f(x)的周期为8,图像如图1所示.

|f(xi)-f(xi+1)|表示函数f(x)在区间[xi,xi+1]上的极差,由结论2知|f(xi)-f(xi+1)|≤8.又因为2018=8×252+2,所以要使n+xn的值最小,须x1=0,xi+1=xi+4(i=1,2,…,253),所以n=254,x254=x253+2=252×4+2=1010,故n+xn的最小值为1264.

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