基于分数布朗运动跳-扩散过程的期权定价模型分析

马辉 李扬

摘 要：本文梳理了金融资产定价问题中基于分数布朗运动跳-扩散过程的期权定价模型发展历程，阐述目前的国内外研究现状和发展趋势.阐明主要研究方向.

关键词：分数布朗运动;期权定价;跳-扩散过程

引 言

金融资产定价问题是金融工程的核心问题之一，产品价格的确定和预测一直是理论界和实务界学者们研究的热点问题，其中对股票价格变化规律的研究，更是从事该领域研究的学者关注的课题.随着我国金融市场日趋完善，股票引起了越来越多投资者的兴趣，已经成为了与基金、存款、保险同等重要的理财方式.股票市场在金融投资领域占有着重要的地位.

在股票市场中，股价的波动是投资者最为关心的问题，这是因为投资者的风险和收益是由股价的波动幅度引起的.股价的波动分为连续的波动和不连续波动两种情形，其中，连续的波动受到市场信息的不准确、发行股票公司的经营状况、投资者认识的差异等因素影响.不连续的波动来自与某些未知的经济或社会因素，比如战争、金融危机、重大政治事件等.因此股票价格的变动行为是一个随机变化的复杂过程，需要借助数学工具才能够进行深入的研究.同时对股票价格形成机制与变化规律的理论研究一直伴随着金融经济学的发展，并由此带动证券市场和其它理论的发展，如市场的有效性理论、资本资产定价理论、市场均衡理论、期权定价理论等.其中期权定价问题是金融数学中的核心问题之一，股票的价格模型是期权定价的基础，所以建立合理的股票价格模型尤为重要.

1股票价格理论的发展

从金融经济学历史发展的角度来看，对股票价格模型的理论与方法的研究主要体现在以下三个方面.

首先是股票价值理论.Iring（1930）最早提出了在确定性条件下价值评估体系.Willianms（1938）提出了金融领域最常见的定价公式股利贴现模型，之后发展起来的诸如自由现金流理论、相对估价法、剩余收益模型等相关理论都可以看成是股票价值理论[1].

其次是现代投资理论，Markwitz发起的资产组合选择理论，WilliamSharp（1964） JohnLint ner（1965） JanMossin（1966）根据Markwitz理论在一般均衡框架下提出的资本资产定价模型;Black和Scholes（1973）运用无套利假说提出期权定价模型等可以视为现代投资理论;Ross（1976）构造了被后人称为“资产定价基本定理”的套利定价模型[2].

再者是当代股票定价理论.Engle（1982）提出了自回归条件异方差模型（ARCH），随后国内学者的研究主要集中在利用这族模型的模拟和特征描述.Barrett在美国货币指数中发现了维数为1.5 左右的奇怪吸收因子，在金融时间序列数据中建立了确定性混沌力学系统.Peter（1994），Racherds（2000）等都证实了金融市场的分形特征以及其它非线性特征，如非正态性，长期记忆性，过度波动性等.贡献最为突出的是HershShefrin（2004）出版的《资产定价行为方法》，提出了对资产定价统一和系统的方法[3].

当下国内外学者对股票价格理论的研究主要包括两个方面，一是依据从非线性模型和混沌理论以及分形理论，利用神经网络和模糊系统对股票价格进行研究.二是借助分数布朗运动的相关理论通过分形性质对股票价格进行研究.

从期权定价的角度，学者都在利用布朗运动的相关理论对股票价格进行研究，并取得了突破性的进展.利用布朗运动建立起的股票价格模型存在两个主要缺点：一是股票价格是一个正态分布的随机变量，那么股票价格就可能出现负值，与实际不符;二是增量是相互独立同分布的，这个假设也不合理.从独立增量性质方面，把布朗运动推广为一般的增量不独立的高斯过程，如分数布朗运动等;期间经历了算数布朗运动模型，与布朗运动相比，在整体漂移和方差方面有所改善，但是没有改变股价为负值的情况;再到几何布朗运动模型，由Black，Scholes首次提出相关理论（B-S定价理論），B-S期权定价模型是20世纪金融领域的重大发现，引领了一场新的金融革命，促进了金融学的发展.它假定股票价格服从几何布朗运动，建立在有效市场假说的基础上，认为股票的价格波动相互独立，其收益率是独立同分布的随机变量，且服从正态分布，较好地克服了布朗运动和算数布朗运动的缺陷[5].然而后续研究人员发现股票价格变化不呈现正态分布，而是一种尖峰厚尾的分布，这就意味着忽略了股票大涨大跌等极端情况的发生，并且股票价格对数也并非严格服从正态分布，同时忽略了股票价格具有长期依赖性和自相似性， 因此近年来许多学者开始对B-S定价理论进行修正， 主要有两种思想：一是保持基本假设不变， 将股票价格波动率的“微笑曲线”特征归结于市场的摩擦和扭曲;二是重新对波动率进行修正的模型，其主要思想是向模型中引入更多的随机因素，如跳--扩散过程、随机波动率模型等.分形理论开始进入金融经济学之后， 股票定价理论得到了快速的发展，建立并推广了诸多股票价格模型，如几何分形布朗运动、带跳和扩散的分形布朗运动模型等.分形理论的引入，使得股票定价模型和期权定价模型得到了长足的发展，现在很多学者仍然朝着这个方向不断地前行，他们期待利用分形布朗运动的特殊形式--分数布朗运动.在股票价格理论研究和期权定价方面取得突破.由于分数布朗运动既不是Markov过程也不是半鞅，古典随机积分不能够处理含有分数布朗运动的积分，这也带动了现代随机积分理论的发展.其次是从高斯性质方面，将其推广到一般的独立增量过程，如Levy过程，一维的布朗运动是Levy过程特殊形式，也有很多学者从事基于Levy过程的股票价格研究.但基本的理论和方法与前面所述基本一致， 这里不再赘述.

再者推广为复合的过程，如跳——扩散过程、重布朗运动等.充分利用布朗运动理论的随机性描述股票价格变动，即在模型中引入随机的跳跃与扩散变量，使得模型更能反映股票价格的实际变化形态.特别是股票价格变动过程出现奇异点时，这类模型对股票价格的预测与描述要相对准确一些，如突发事件引起的股票价格突然下跌，利好消息引起的股票迅速上涨，都可以通过在模型中加入泊松过程来描述，把股票价格的变动行为变成布朗运动和泊松过程共同驱使的形式.很多学者投入这项工作中来， 或是改进模型中布朗运动形式，如利用几何布朗运动、分数布朗运动、分形布朗运动等;或是改进泊松过程，增加更为复杂的跳跃形式，如补偿的泊松过程、时齐非时齐的泊松过程等，都建立了相关的理论体系.

2、跳-扩散过程模型分析.

分形布朗运动是B. B. Mandelbrot 和Van Ness首先提出的，用于模拟各种具有分形特征的噪声等.Edgar Peters提出了分形市场假说. Peters应用R/S 分析法分析了不同资本市场如股市收益率、汇率， 都发现了分形结构和非周期循环， 证明资本市场是非线性系统.分形布朗运动的引入，使得股票定价和期权理论得到了长足发展，使得资本资产定价模型和期权等衍生品定价公式得到了发展. Cipiran.N建立了基于分数布朗运动模型给出了期权定价的分数B-S 公式，McCulloch 提出稳定分布下的期权定价公式， 而Decreusefond 和Ustunel运用路径依赖积分发展了基于分形布朗运动的期权定价公式， 从而为分形市场假说条件下权证定价奠定了基础.Duncan、Hu 、Pasik-Duncan推导出Hurst 指数属于（0.5，1） 时基于Wick 算子的分形布朗运动积分， 并证明分形布朗运动假设下市场是无套利的， 从而推导出分形布朗运动下欧式看涨期权的定价模型. Beckera S对这一类跳--扩散过程模型的参数进行了有效的估计[6].

3.基于分形布朗运动理论下的股票价格研究

采用分形或分数布朗运动对B-S期权定价公式中的股票价格运动模型进行修正.周孝华通过分析布朗运动与分形布朗运动的仿真过程，首次提出并论述了分形布朗运动是股价行为的高度逼真. 提出分形维纳过程的概念并利用它推导出不付红利股票价格所遵循的含分形维纳过程的微分方程， 并进行了实例计算. 考虑了股本稀释效应，权证执行的“稀释效应”以及“红利分配”，分形理论等问题进行了修正.

4. 股票价格服从混合过程的定价模型

很多学者在股票价格服从分数布朗运动的基础上，对模型引入更加符合实际变化的跳跃过程.在股票价格服从混合过程前提下研究了期权定价模型.如无风险利率、波动率和预期收益率为时间的非随机函数，用保险精算方法，给出两值期权定价公式.对非高斯过程和非马尔可夫情况下的期权定价理论的探讨，进行了修正.对B-S 期权定价模型进行了深入研究，总结了比较流行的定价方法即偏微分方程、解析近似方法、二叉树方法、有限差分方法和Monte-Carlo 模拟法等.利用随机利率和多因素影响进行了期权定价研究[7].在B-S 模型引入了一个跳过程， 得出稀释调整后的股本权证定价公式， 并将其推广到支付红利状况下权证定价模型.带有泊松跳过程的股票价格模型和期权定价模型.以上研究实质上主要是对B-S 模型在分数布朗运动基础上的修正與拓展.

5.结论

当下国内外学者们对股票价格的研究实际上依据股票市场的分形性质，利用分数布朗运动来描述股票价格运动过程，并在模型中加入跳跃变量，描述波动形式，即为分数跳--扩散过程.它也是当下标的资产定价和期权定价利用和讨论的重点模型，特别是对跳-扩散过程的修正问题尤为重要.

参考文献：

[1] Merton R C. Optimum consumption and portfolio rules in a continuous-time model[J]. Journal of Economic Theory， 1971， 3：373-413.

[2] Black F， Scholes M.The pricing of options and corporate Liabilities[J]. Journal of Political Ecomomy， 1973， 81（2）：635-654.

[3] Merton R C. Continuous-Time finance[M]. Cambridge M A：Blackwell Publishers， 1990.

[4] Jean Luc Prigent. Option pricing with a general marked point process[J]. Mathematics of Operations Research， 2001， 26（1）：50-66.

[5] Chan T. Pricing contingent claims on stocks driven by Levy processes[J]. Annals of ApplProd， 1999， 9（2）：504-528.

[6] 林汉燕.分数布朗运动模型下美式两值期权的定价[J].数学的实践与认识，2018，48（16）：291-296.

[7] 荣晶，马辉.股票价格的分数布朗运动跳-扩散过程模型[J].现代经济信息，2016（08）：281.

[8] 尤左伟，刘善存，张强.混合分数布朗运动下可转债定价模型研究[J].系统工程理论与实践，2017，37（04）：843-854.

基金项目：吉林省教育厅“十三五”科学技术研究项目 （JJKU20170338K）